Алгебраические операции над вещественными числами

Определение: Пусть существует 

² =

ⁿ⁺¹=ⁿ 

^-1=(1/0

^-2=(^-1²

.. …

^-n=(^-1ⁿ

⁰=1

Определение: корня

Пусть существует n>=2

^1/n= ⁿ

множество Е : R : >0 и ⁿ<

множество Е ограничено сверху (оказывается)

^1/n=sup E

Определение: корня с рациональным показателем

Пусть существует r₀=m/n, m,nN, n>=2

Пусть существует R, >0

^r0=(^1/n)^m

Определение: числа в иррациональной степени.

1^=1

Пусть существует >1 и существует R

Множество Е = {^, r<, rQ}

Оказывается, что Е ограничено сверху

^=sup E

Пусть 0<<1

^=1/(1/^

Определение: логарифма

Пусть R, >1, R, >0

Множество Е={xR : ^x<}

Оказывается, что Е ограничено сверху

Log_sup E

Пусть R, 0<<1, >0

Log_- Log_{}

Теорема: Алгебраические операции, которые определены выше обладают всеми теми свойствами, которые известны из школьного курса.

Теория пределов

Определение: Последовательность – числовая функция, определенная на множестве N

{Xn}^oo_n=1 или X_1,X₂, …

Определение: Пусть существует {Xn}^oo_n=1 и существует аR, говорят, что а является пределом последовательности {Xn} или Xn a при n,

Если для >0 существует такой номер N : n>N в.н. |Xn-a|<

или <=> >0 существует N : n>N в.н. |Xn-a|<

Определение: Если а=0, , то последовательность {Xn} называется бесконечно малой (б/м)

Т.о. б/м – это последовательность, взятая целиком, число рассмотренное изолированным не может быть б/м.

Свойства пределов

1. Пусть Xn=a n

Доказательство:

Возьмем >0 N=1 n>1 в.н. |Xn-a|=|a-a|=0<

2. пусть существует {Xn}^oo_n=1a, тогда она ограничена, т.е. Е=

Доказательство:

Возьмем =1, тогда существует N₀ : n> N₀ в.н. |Xn-a|<1 <=> a-1<Xn<a+1

n=N₀+1, N₀+2, …

Пусть М=max(|X₁|…|X_No|, a+1)

Пусть L=min(-|X₁|…-|X_No|, a-1)

Утверждение: n в.н. L<=Xn<M

Доказательство: Возьмем n

1. n<=N₀ => Xn<=|Xn|<=max|Xn|<=M

2. n>N_0, n=N₀+1 => Xn<a+1<=M

3. Существует , С

тогда

Доказательство:

1. Если с=0, y_n=0 для n, тогда

2. Если с>0 существует N : n> N в.н. |Xn-a|<с|

|y_n-c a|=|c Xn-c a|=|c||Xn-a|<|c|(с|)=

4. , , z_n=x_n+y_n

Тогда

Доказательство:

>0 существует N₁ : n>N₁ в.н. |x_n-a|<

 существует N₂ : n>N₂ в.н. |y_n-b|<

Пусть N=max{N₁,N₂} : n>N в.н. |z_n-a-b|=|x_n-y_n-a-b|=|(x_n-a)+(y_n-b)|<

5. Пусть существует k>=2 функций, которые определены на множестве N

{Xn¹ }^oo_n=1 ; {Xn² }^oo_n=1 ; … {Xn^k }^oo_n=1

Пусть существует С₁,С₂,…,С_k

, l=1,2,…k

Рассмотрим z_n=С₁Xn¹+…+С_kXn^k, тогда

Доказательство:

База: k=2 {Xn¹ }^oo_n=1 ; {Xn² }^oo_n=1

6.

Доказательство:

y_n по свойству 2 она ограничена, т.е. существует k,l : k<=y_n<=l n =>

=> |y_n|<=max(|k|,|l|)

Пусть М=max(|k|,|l|)+1, M>=1, |y_n|<=M

Возьмем >0 и N₁: n>=N₁ в.н. |x_n-a|<

 N₂ : n>N₂ в.н. |y_n-b|<a

max{N₁,N₂}

n>N в.н. (1),(2)

x_ny_n-ab=(x_n-a)y_n +a(y_n-b) => |x_ny_n-ab|<=|(x_n-a)y_n|+|a(y_n-b)|= |x_n-a||y_n|+|a||y_n-b|< a| a

7. Пусть существует {Xn¹ }^oo_n=1 ; {Xn² }^oo_n=1 ; … {Xn^k }^oo_n=1 , k>=2

;;…;=>

Доказательство:

По методу индукции.

?????

8. x_n0 n , a0 =>

Доказательство:

₀>|a|/2>0 => существует N₀: n>=N₀ в.н. |x_n-a|<|a|

=> (4) |x_n|=|a+(x_n-a)|>=|a|-|x_n-a|>|a|-|a|/2=|a|/2

>0 существует N₁ : n>N₁ в.н. |x_n-a|<(a² 

max(N₁,N₂)= ???

=> (3),(4) выполняется

=

9. x_n0 n

Доказательство:

=>

10. => Не существует ba :

(т.е. существует только единственное значение )

Доказательство:

Пусть верно обратное т.е. существует ba : =>

₀>|b-a|/4 => существует N₁ : n>N₁ в.н. |x_n-a|<₀ (5)

 существует N₂ : n>N₂ в.н. |x_n-b|<₀ (6)

Пусть N=N₁+ N₂+1 для x_n выполняется (5),(6)

a<b x_n=a+(x_n-a)<=a+|x_n-a|<a+(b-a)/4<(a+b)/2 (7)

x_n=b+(x_n-b)>=b-|x_n-b|>b-(b-a)/4>(a+b)/2 (8)

по (7) и (8) Значит наше предположение неверно, т.е. существует только единственное значение