Арифметические свойства непрерывных функций в точке

Пусть  - любое значение

1. Пусть f непрерывна в точке , тогда Сf непрерывна в точке .

2. Пусть f,g непрерывны в точке , тогда f+g непрерывна в точке .

3. Пусть f,g непрерывны в точке , тогда fg непрерывна в точке .

4. Пусть f(x)0 x и f непрерывна в точке , тогда 1/f непрерывна в точке .

5. Пусть f(x)0 x и f,g непрерывны в точке , тогда g/f непрерывна в точке .

Доказательство: (5)

b (a,b], f,g непрерывны в точке b.

f(x)0 x

Пусть

Остальные аналогично

Теорема:

Пусть f[a,b], g[a,b], f непрерывна в точке , f()=

P<=f(x)<=q x[a,b]

Пусть g(y) определена на [p,q] и непрерывна в точке , => h(x) непр.

h(x)=g(f(x))

Лемма:

Пусть f(x) непрерывна в точке  <=>

<=>>0 существует >0 : x[a,b] : |x-|< в.н. |f(x)-f(|<

т.к. (1) верно для x=, то мы можем не накладывать ???

>0, существует >0 : y[p,q] : |y-|< в.н. |g(y)-g(|<

>0 существует >0 : [a,b] : |x-|< в.н. |f(x)-f(|<3

Пусть |h(x)-h(|-|g(f(x))-g(f(|=|g(y)-g(|<<=>|y-|<

I

По существенному неравенству (4) для ln(x) |x|<=1/3 x0

1+x=t 2/3<=t<=4/3

=>

ln(x) непрерывна в точке х=1

Пусть x₀>0 ln(x)=ln(x₀)+ln(x/x₀)

=> ln(x) непрерывная функция.

II

x=0

при x0 |x|<=1/3

=>

x₀ ,

,

III

x=0

IV

Sin x<x, 0<x</2

0<|x₁|</2

|Sin x₁|=Sin |x₁|<|x₁|

|x|</2

x₀0 x=(x-x₀)+x₀

Sin x=Sin x₀ Cos(x-x₀)+ Cos x₀ Sin(x-x₀)

Cos x=Cos x₀ Cos(x-x₀)+ Sin x₀ Sin(x-x₀)

Отсутствие непрерывности – разрыв

Ликвидация разрыва

x(a,b), f

Существует

f не является непрерывной в точке x₀

x₀(a,b)

g, pq

Существует

Существует

Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке

Определение: f определена на [a,b], a<=x<=b, говорят, что функция непрерывна на [a,b], если она непрерывна в любой точке на [a,b]

Теорема: Больцана-Коши

f(a) ^. f(b)<0, тогда существует x₀(a,b) : f(x₀)=0

Доказательство:

g(a)=m

g(b)=n

mn

f(x)=g(x)-r

f(a)=m-r

f(b)=n-r

f(a) ^. f(b)=(m-r)(n-r)<0

Пусть x₁(a,b), f(x₁)=0 <=> g(x₁)=r

Теорема: о непрерывности обратной функции.

Пусть f(x) непрерывна на a,b] и строго монотонна на нем, тогда на (a,b), определена и непрерывна функция обратная данной, причем если f(x) возрастала, то f(x)^-1 тоже возрастает, если f(x) убывала, то f(x)^-1 тоже убывает.

Пусть m=min(f(a),f(b)), n=max(f(a),f(b)).

???

Теорема: о элементарных функциях.

Любая элементарная функция непрерывна в любом промежутке, в котором она определена.

Теорема: Вейерштрасса 1.

Существует M,m : m<=f(x)<=M, пусть f(x) непрерывна на [a,b]

???

Теорема: Вейерштрасса 2.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда существует x₁,x₂(a,b) : f(x₁)<=f(x)<=f(x₂) (4)

Доказательство:

Пусть М – Sup{f(x)} x[a,b]

(3) => M<+oo f(x₂)=M

Пусть f(x)=M – не существует f(x)<M x[a,b]

(x)=1/(M-f(x))>0

Существует L>0 (x)<=L x (5)

(5) <=> M-f(x)>=1/L <=> f(x)<=M-1/L<M =>

Существует x₂ : f(x)<=f(x₂) x

g(x)=-f(x)

Существует x₁ : g(x)<=g(x₁) <=> f(x)>=f(x₁)