Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла
.pdfx |
|
Φ( x) = ∫ f (t) dt, x [a, b], |
(1) |
a |
f (t), |
т.е. Φ( x) является функцией верхнего предела интеграла от функции |
t [a, b]. Аналогично можно ввести в рассмотрение функцию нижнего предела
интеграла от функции |
f (t), t [a, b], т.е. функцию |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a, b]. |
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Φ( x) = ∫ f (t) dt, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
Теорема 1 (о непрерывности функции |
Φ( x) ). Пусть f (t) R [a, b] |
, и пусть |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
||
Φ( x) = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (t) dt , x [a, b]. Тогда Φ( x) C [a, b] . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x0 |
x |
|
b |
a x x0 |
b |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 1.16. К доказательству теоремы 1 |
|
|
|
|
* Выберем и закрепим любую точку x0 [a, b]. Пусть x – любая другая точка из [a, b] . По свойству определенных интегралов, для любого расположения (взаимного) точек a, x0 и x справедливо соотношение
x |
x0 |
∫ f (t) dt = ∫ f (t) dt |
|
a |
a |
124 43 |
14243 |
= Φ( x) |
= Φ( x0 ) |
x
+ ∫ f (t) dt
x0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ( x) −Φ( x0 ) = ∫ f (t) dt . |
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f (t) – ограниченная на [a, b] , т.е. существует число |
|||||||||||||||||||||||
Так как f (t) R [a, b] , то |
||||||||||||||||||||||||||||||
K > 0 такое, что |
|
|
|
f (t) |
|
≤ K , t [a, b]. Имеем из (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Φ(x) −Φ(x0 ) |
|
= |
∫ f (t) dt |
≤ K |
|
x − x0 |
|
0 ≤ |
|
Φ( x) −Φ( x0 ) |
|
≤ K |
|
x − x0 |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переходя в |
|
последнем |
неравенстве |
|
к |
пределу |
при |
x → x0 , получаем |
||||||||||||||||||||||
lim Φ(x) = Φ(x0 ) . Последнее означает, что Φ( x) – непрерывная в точке x0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
– любое из [a, b] , то Φ( x) C [a, b] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Теорема |
|
2 |
(о |
|
существовании |
производной у |
функции |
Φ( x) ). Пусть |
||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
пусть |
Φ( x) = |
|
∫ |
f (t) dt , |
x [a, b]. |
Тогда |
в |
каждой точке |
|||||||||||||||||||||
f (t) R [a, b] , |
|
|
a
41
x [a, b], в которой функция f (t) непрерывна, существует производная функции Φ( x) , причем Φ′( x) = f ( x) .
Выберем и закрепим любую точку x0 [a, b], в которой функция f (t) не-
прерывна. Тогда, взяв произвольное число ε > 0 , мы можем найти по нему число δ > 0 такое, что для каждой точки t из промежутка [a, b] , удовлетворяющей
неравенству |
|
t − x0 |
|
< δ , будет выполняться неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (t) − f ( x0 ) |
|
< ε |
|
|
|
f ( x0 ) −ε < f (t) < f ( x0 ) +ε. |
(4) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Дадим x0 приращение |
∆x |
любое, |
но |
такое, что ∆x ≠ 0, |
|
∆x |
|
<δ и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 + ∆x [a, b]. Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x0 |
+∆x |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x0 |
+∆x |
x0 |
||||||||||||
Φ( x0 + ∆x) −Φ( x0 ) = |
∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt = |
∫ f (t) dt + |
∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
x0 |
a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 +∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Φ(x0 + ∆x) −Φ(x0 ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
∫ f (t) dt . |
|
(5) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|||||||||||||||||
Из (4) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) если ∆x > 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(f ( x0 ) −ε) ∆x < |
∫ f (t) dt < (f ( x0 ) + ε) ∆x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) если ∆x < 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(f ( x0 ) −ε) ∆x > |
∫ f (t) dt > (f ( x0 ) + ε) ∆x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Однако в обоих случаях |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 +∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f ( x0 ) −ε < |
|
|
∫ |
f (t) dt < f ( x0 ) + ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда из (5) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Φ(x0 + ∆x) −Φ(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f ( x0 ) −ε < |
|
< f (x0 ) +ε, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Φ(x0 |
+ ∆x) −Φ(x0 ) |
− f ( x |
0 |
) |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, показано: любому ε > 0 отвечает δ > 0 |
такое, что как только |
|
∆x |
|
<δ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( ∆x ≠ 0, x0 + ∆x [a, b]), так сейчас же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Φ(x0 |
+ ∆x) −Φ(x0 ) |
− f ( x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
) |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Последнее означает, что |
|
|
Φ(x0 |
+ ∆x) −Φ(x0 ) |
|
|
|
||||||||
|
|
f ( x0 ) = lim |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
∆x |
|
|
|
|
||||
Φ′( x0 ) существует, причем Φ′( x0 ) = f ( x0 ) . |
|
|
|
|
|||||||||||
Так как точка x0 – любая из [a, b] , в которой функция |
|
f (t) – непрерывна, то |
|||||||||||||
теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Справедливо утверждение: |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( |
) |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
, и пусть |
Φ( x) = |
f (t) dt , |
x [a, b]. Тогда в каждой |
|||||||||||
f ( x) R [a, b] |
|
|
|||||||||||||
точке x [a, b], в которой функция |
f (t) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
– непрерывна, существует производная |
|||||||||||||||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции Φ( x), причем Φ′( x) = − f ( x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
~ |
|
b |
|
x |
|
|
|
|
~ |
|
|
||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Φ( x) = ∫ f (t) dt = −∫ f (t) dt |
Φ′( x) = − f ( x) , в каждой |
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
точке x [a, b], в которой функция |
f (t) |
непрерывна. |
|
|
|
||||||||||
Частный случай теоремы 2 (теорема Барроу). |
|
|
|
||||||||||||
|
( |
) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
~ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
||||
Пусть |
. Пусть Φ( x) = |
f (t) dt , |
Φ( x) = |
f (t) dt , x [a, b]. То- |
|||||||||||
f ( x) C [a, b] |
|
|
|||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
гда Φ′( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и Φ′(x) существуют в каждой точке x [a, b], причем Φ′( x) = f ( x) , |
Φ~ ′( x) = − f ( x) , x [a, b].
Замечание. Из теоремы Барроу сразу следует такое утверждение:
У всякой функции f ( x) C([a, b]) существует в промежутке [a, b] первообразная. Такой первообразной для f ( x) в промежутке [a, b] является, например,
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция Φ( x) = ∫ f (t) dt , |
x [a, b]. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d |
x |
d |
b |
|
|
d |
b |
||||
1. Найти |
∫sin t2dt ; |
∫sin t2dt ; |
|
∫sin t2dt , где a и b – постоянные чис- |
|||||||||
dx |
dx |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
a |
||
ла. |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
, то по теореме Барроу |
||||||||||||
Так как sin t2 C [a, b] |
|||||||||||||
|
d |
x |
|
|
d |
b |
|
|
|||||
|
∫sin t2dt = sin x2; |
∫sin t2dt = −sin x2 , x [a, b]. |
|||||||||||
|
dx |
dx |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
x |
|
|
||||
b |
|
|
|
|
|
d |
b |
||||||
Так как ∫sin t2dt – постоянное число, то |
∫sin t2dt = 0 . |
||||||||||||
dx |
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
43
x
∫cos x2dx
2. Найти lim |
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫cos x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отношение |
0 |
|
|
|
|
|
|
при |
x → 0 представляет собой неопределенность |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вида |
0 . По правилу Лопиталя находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫cos x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
0 |
|
|
|
|
= lim cos x2 =1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∫ |
tg x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
* 3. Найти lim |
0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→+0 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
tg x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отношение |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x → +0 |
представляет собой неопределен- |
|||||||||||||
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность вида |
. И здесь применяем правило Лопиталя: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|||||||||||
|
|
∫ |
tg x dx |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
(sin x)′x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
tg x dx |
|
|
|
|
tg x dx |
|
|
||||||||||||||
|
lim |
0 |
|
|
= |
|
lim |
|
0 |
|
|
|
|
x = |
lim |
|
|
0 |
|
sin x |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→+0 tg x |
|
|
|
|
|
x→+0 |
tg x |
|
|
|
|
′ |
x→+0 |
tg x |
|
|
′ |
|
||||||||
|
∫ |
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
sin x dx |
|
|
|
|
∫ |
sin x dx |
|
(tg x)′ |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
tg x |
|
|||||
|
= lim |
|
tg(sin x) cos x |
= lim |
tg(sin x) = |
lim |
sin x = |
lim |
x =1. |
||||||||||||||||||
|
x→+0 |
sin (tg x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
sin (tg x) |
x→+0 |
tg x |
x→+0 x |
|||||||||||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
§9. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона – Лейбница)
Теорема. Пусть |
|
|
( |
) |
|
|
|||
f ( x) C [a, b] . Пусть F( x) – какая-нибудь первообразная |
|||||||||
для f ( x) |
в [a, b] . Тогда |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x) dx = F(b) − F(a) . |
|
|
|
|
|
|
|
F( x) |
a |
|
f ( x) в |
[a, b] . Так как |
|
По |
условию, |
– |
первообразная для |
||||||
( |
|
) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
Φ( x) = |
∫ |
f (t) dt – тоже первообразная для |
f ( x) в [a, b] . Но |
|||||
f ( x) C [a, b] , то |
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
тогда Φ( x) |
и F( x) |
отличаются друг от друга в [a, b] |
только на постоянную ве- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
личину, т.е. |
Φ( x) − F( x) = c , x [a, b] ∫ f (t) dt = F( x) +c , |
x [a, b]. Поло- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
жив в этом соотношении x = a , получим 0 = F(a) +c |
c = −F(a). Следова- |
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, ∫ f (t) dt = F(x) − F(a) , |
x [a, b]. Положив в последнем соотношении |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = b , получим |
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (t) dt = F(b) − F(a) . |
|
(1) |
a
(1) – основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона – Лейбница). Она позволяет вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f ( x) в случае, когда известна первообразная этой функции.
Для краткости формулу (1) часто пишут в другом виде. Именно,
b |
b |
||
∫ f (x) dx = F( x) |
|
ab , или |
∫ f (x) dx =[F( x)]ab . |
|
|||
|
|||
a |
a |
(Символ F(x) ba носит название двойной подстановки).
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
x2 |
|
|
|
||
Пример 1. Вычислить ∫ |
|
|
|
dx ( a > 0 ). |
|
|||||||||
|
a |
3 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
+ x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем f ( x) = |
|
|
|
|
|
C [0, a] (так как a > 0 ). |
||||||||
a3 |
+ x3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
||||||
вообразная для f ( x) в [0, a] . Поэтому |
|
|||||||||||||
a |
|
|
x2 |
|
|
|
|
dx = 1 ln (2a3 ) − 1 ln (a3 ) |
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
a |
3 |
3 |
|
||||||||||
0 |
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
F( x) = 13 ln (a3 + x3 ) – пер-
13 ln 2 .
45
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить ∫ 1−cos 2x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
1−cos 2x = 2sin2 x = 2 |
|
sin x |
|
, x [0, 2π] |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
2 sin x, |
|
|
x [0, π], |
|
|
|
|||
|
f ( x) = |
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
− |
2 sin x, |
|
|
x [π, 2π]. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
π |
|
|
2π |
|
|
||||
∫ |
1−cos 2x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
∫sin x dx − ∫sin x dx |
||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
π |
|
|
|||
= |
2 (−cos x 0π +cos x 2ππ)= |
2 (2 +2) = 4 |
|
|
. |
||||||
2 |
Замечание. Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона – Лейбница, следует внимательно проверять условия, при которых эта формула установлена. Отступление от этого правила может привести к абсурдному результату.
Так, формальное применение формулы Ньютона – Лейбница дает, например,
1 |
dx |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
∫x2 |
= − x |
|
−1 |
= −1−1 = −2 (абсурд). |
|
−1 |
|
|
|
|
|
(Подынтегральная функция f ( x) = x12 > 0 , порядок пределов нормальный. Сле-
довательно, интеграл не может равняться отрицательному числу).
В этом примере подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке x = 0 , принадлежащей промежутку интегрирования [−1,1] , а потому при-
менение формулы Ньютона – Лейбница было незаконным.
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
Пример 3. Вопрос: можно ли при вычислении интеграла ∫ |
|
|
брать в ка- |
||||
1 |
+ x2 |
||||||
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
честве первообразной функции для f ( x) = |
|
, x [−1,1], |
функцию |
||||
|
+ x2 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
F( x) = arcctg 1x ?
Ответ: Нельзя. В точке x = 0 функция F( x) = arcctg 1x терпит разрыв, а
потому не может быть первообразной для f ( x) = 1+1x2 в промежутке [−1,1]
|
1 |
′ |
1 |
лишь для x ≠ 0 ). |
||
( F′( x) = arcctg |
|
= |
|
|
||
1+ x2 |
||||||
|
x |
|
|
46
§10. Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функции u( x), v ( x) определены на [a, b] и имеют там непрерывные производные u′(x) , v′( x). Тогда имеет место формула
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
||
|
∫u( x) v′( x) dx = u( x) v ( x) |
|
ab − ∫u′( x) v ( x) dx . |
(1) |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
Имеем: |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
] |
′ = u( x) v′( x) + v (x) u′( x), x [a, b], |
|
|||||||||
[ |
|
||||||||||
|
u( x) v ( x) |
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
b |
|
||||
∫ |
[u(x) v (x)]′dx = ∫u(x) v′( x) dx + ∫v (x) u′( x) dx . |
|
|||||||||
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ∫[u(x) v (x)]′dx = u(x) v (x) |
|
ab , то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
ab |
|
|||
∫u( x) v′( x) dx + ∫v ( x) u′( x) dx = u( x) v ( x) |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
||
∫u( x) v′( x) dx = u( x) v ( x) |
|
ab − ∫u′( x) v ( x) dx . |
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
Примеры.
π
1. Вычислить интеграл ∫x cos x dx .
0
Имеем
π |
u = x; |
|
|
∫x cos x dx = |
|
0 |
cos x dx = dv; |
|
ππ
=x sin x 0π − ∫sin x dx = 0 − ∫sin x dx =
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2. Вычислить интеграл ∫x (1− x)7 dx . |
||||
Имеем |
|
0 |
|
|
|
|
|
u = x; |
|
1 |
|
|
|
|
∫x (1− x) |
7 |
dx = |
|
|
|
dv = (1− x)7 dx; |
|||
0 |
|
|
|
|
du = dx = v = sin x
cos x 0π = −1−1 = −2 .
du = dx |
|
|
||
v = − |
(1 |
− x)8 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||
|
|
|
|
47
|
(1− x)8 |
|
1 |
|
1 |
1 |
8 |
|
1 |
|
(1− x)9 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − x |
|
|
|
|
+ |
8 |
∫(1− x) dx = 0 |
− |
8 |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
8 |
|
|
0 |
9 |
0 |
72 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2
3. Вычислить интеграл In = ∫sinn x dx ( n N ).
0
Имеем
π 2 |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = sinn−1 x; |
|
du = (n −1)sinn−2 x cos x dx |
||||||||||||||||
In = ∫sinn x dx = ∫sinn−1 x sin x dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = sin x dx; |
|
|
|
v = −cos x |
|
|
||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
||
= −sinn−1 x cos x |
02 + |
∫(n −1)sinn−2 x cos2 x dx = 0 +(n −1) ∫sin n−2 x cos2 x dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
||||||
= (n −1) ∫sinn−2 x (1−sin2 x )dx = (n −1) ∫sinn−2 x dx − ∫sinn x dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142443 |
14243 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=In−2 |
|
|
=In |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
In = (n −1)( In−2 − In ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
n |
= |
n −1 |
I |
n−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пользуясь рекуррентным соотношением (2), можем написать: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
I |
n−2 |
= |
n −3 |
I |
n−4 |
; |
|
I |
n−4 |
= |
n −5 |
I |
n−6 |
; и т. д. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n −4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поэтому будем иметь |
|
|
|
(n −1)!! |
|
I0, |
|
если n – четное, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
In = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n!! |
|
|
|
|
|
|
|
если n – нечетное. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
π 2 |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как I0 = ∫dx = π2 ; I1 = ∫sin x dx = −cos x |
|
02 =1, то окончательно получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)!! |
|
π |
, |
если n – четное, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
In = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если n – нечетное. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§11. Замена переменных в определенных интегралах |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
Теорема. |
Пусть |
|
|
имеется |
|
|
определенный |
|
интеграл |
∫ f (x) dx , |
где |
|||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
f ( x) C [a, b] , т.е. непрерывна на [a, b] . Пусть функция x = ϕ(t ) определена в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
[α,β] и имеет там непрерывную производную ϕ′(t ) . Пусть, |
кроме того, функ- |
48
ция x = ϕ(t ) – строго монотонная в [α,β] и такая, что ϕ(α) = a , ϕ(β) = b . Тогда справедлива формула
b |
β |
|
∫ f (x) dx = ∫ f [ϕ(t)] ϕ′(t) dt . |
(1) |
|
a |
α |
|
Пусть, для определенности, a < b , и функция x = ϕ(t ) – строго возрастающая в промежутке [α,β]. Введем в рассмотрение следующие две функции:
ξ |
|
λ(ξ) = ∫ f [ϕ(t)] ϕ′(t) dt , |
(2) |
α |
|
ϕ(ξ) |
|
µ(ξ) = ∫ f (x) dx . |
(3) |
ϕ(α)
Отметим, что функции λ(ξ) и µ(ξ) определены и непрерывны на промежутке [α,β]. Кроме того, имеем для любой точки ξ [α,β] :
λ′(ξ) = f [ϕ(ξ)] ϕ′(ξ),
|
|
ϕ(ξ) |
′ |
|
|
ϕ(ξ) |
′ |
|
|
µ′(ξ) = |
|
|
|
= |
|
|
|
ϕ′(ξ) = f [ϕ(ξ)] ϕ′(ξ) . |
|
|
∫ f ( x) dx |
|
∫ f ( x) dx |
|
|||||
|
|
ϕ(α) |
ξ |
|
|
ϕ(α) |
ϕ |
|
|
Видим, что λ′(ξ) = µ′(ξ) , ξ [α,β] |
|
|
|
|
|||||
|
|
λ(ξ) − µ(ξ) = c |
(const), ξ [α,β]. |
(4) |
Из (2) и (3) видим, что λ(α) = 0 , µ(α) = 0 λ(α) − µ(α) = 0 . Так как в (4) c – одно и то же для всех ξ [α,β] , то получаем c = 0 .
Таким образом, λ(ξ) − µ(ξ) = 0 , |
ξ [α,β] |
|
λ(ξ) = µ(ξ) , ξ [α,β] . Следо- |
|||||||
вательно, в частности, λ(β) = µ(β) , т.е. |
|
|
|
|
|
|
||||
β |
|
|
ϕ(β) |
|
|
|
|
b |
|
|
∫ f [ϕ(t)] ϕ′(t) dt = ∫ f ( x) dx |
|
|
|
|||||||
= |
∫ f (x) dx . |
|||||||||
α |
|
ϕ(α) |
|
|
a |
|
||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln (1+ x) |
|
|
|
|
|
|||
1. Вычислить интеграл J = ∫ |
dx . |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим x = tg t dx = |
|
|
. Имеем |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t = 0 |
при |
x = 0 , |
|
|
||||
|
|
t = |
π |
при |
|
x =1. |
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
49
Замечаем, что |
f ( x) = |
ln (1+ x) |
|
|
( |
|
) |
, x = ϕ(t ) |
(= tg t ) |
определена в |
|
0, |
π |
и |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1+ x |
|
|
C [0,1] |
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(=1 cos2 t ) . Следовательно, |
|
|
||||||||||
имеет там непрерывную производную ϕ′(t ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
t) |
|
|
dt |
|
π 4 |
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
||
J = ∫ln (1+2x) dx = |
∫ |
ln (1+ tg2 |
|
|
|
= ∫ln (1+ tg t) dt = ∫ ln sin t +cos t dt = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
t |
|
|||||||||||||||||||||||
0 1+ x |
|
0 |
1+ tg |
|
t |
|
cos |
0 |
|
|
|
0 |
|
cos t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 cos |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π 4 |
|
|
|
4 |
−t |
|
|
|
π 4 |
|
|
π 4 |
|
|
π 4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ∫ ln |
|
|
|
|
dt = ∫ln |
2 dt + ∫ ln cos 4 −t dt − ∫ln cos t dt . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
cos t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Во втором интеграле в правой части сделаем замену π −t = u |
dt = −du. Бу- |
||||||||||||||||||||||||||
дем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
ln cos u du = |
∫ |
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln cos |
−t dt = − |
|
|
|
ln cos u du |
|
ln cos t dt . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
π 4 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J = ∫ln |
2 dt + ∫ln cos t dt − ∫ln cos t dt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
8 ln 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
2. Вычислить интеграл J = ∫0 1+x sincos2x x dx .
Имеем
π |
x sin x |
π 2 |
|
|
x sin x |
|
|
||
J = ∫ |
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
dx + |
1+cos2 x |
1 |
+cos |
2 |
|
|||||
0 |
|
|
0 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
x sin |
x |
|
|
∫ |
|
|
|
dx . |
||
1 |
+cos |
2 |
|
|||
π 2 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
Во втором интеграле справа сделаем замену x = π −t |
dx = −dt . Замечаем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
x = π , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
t = 0 |
|
при |
x = π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
π |
x sin x |
|
|
|
0 |
(π |
−t)sin (π −t) |
(π −t)sin t |
|
(π − x)sin x |
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx = − ∫ |
dt = ∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx . |
|||||||
|
+cos |
2 |
|
|
1+cos |
(π −t) |
|
|
1 |
+cos |
t |
|
1+cos |
x |
||||||||||||||||||||||||
π 2 1 |
|
|
x |
|
π 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Теперь можем написать |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
π |
|
x sin x |
|
|
|
|
x sin x |
|
sin x |
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
J = ∫ |
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
dx + π ∫ |
|
|
|
|
|
dx − ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|||||||||
|
|
1+cos |
2 |
|
1+cos |
2 |
x |
1 |
+cos |
2 |
|
1 |
+cos |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
x |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
x |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50