не зависящий от способа вписывания ломаной, то этот предел принимают за площадь поверхности, получаемой при вращении (AB вокруг оси Ox (здесь
λ = |
max |
|
Mk Mk +1 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
k =0, n−1 |
|
|
|
|
Теорема 1. Пусть (AB задана параметрическими уравнениями |
|
|
|
|
|
x = x (t), |
t [α,β], α <β. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y (t), |
|
(Считаем |
(AB незамкнутой и не имеющей кратных точек.) Пусть функции |
x (t), y (t) |
имеют в [α,β] непрерывные производные x′(t) , y′(t) . Тогда поверх- |
ность, образованная вращением (AB вокруг оси Ox, имеет площадь S, причем
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
S = 2π∫ y(t) (xt′)2 +( yt′)2 dt . |
(2) |
|
|
|
α |
|
|
|
|
* |
Пусть для определенности (AB |
лежит выше оси Ox, т.е. |
y(t) ≥ 0, |
t [α,β]. Впишем в (AB ломаную M0 M1KMn ( M0 = A , Mn = B ), |
причем |
сделаем это так: разделим промежуток |
[α,β] точками α = t0 < t1 <K< tn = β |
произвольным образом на части [tk , tk+1], |
k = |
|
, и возьмем в качестве то- |
0, n −1 |
чек Mk , |
k = |
|
, точки (xk , yk ) , у которых xk = x (tk ), yk = y (tk ) . Рассмот- |
0, n −1 |
рим k-е звено ломаной. Может реализоваться один из следующих трех случаев
(рис. 3.22, 3.23, 3.24).
|
a) |
|
y |
M |
k +1 |
|
b) |
|
y |
|
|
M |
k +1 |
|
|
c) |
|
y M k |
M |
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
M k |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
xk |
xk +1 |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
xk +1 |
|
|
|
|
|
xk |
xk +1 |
|
|
|
|
Рис. 3.22 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.24 |
|
|
|
|
|
Различные случаи положения звена ломаной относительно оси вращения |
|
|
|
Площадь поверхности, образованной вращением звена |
Mk Mk+1 |
вокруг оси |
Ox, будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
yk + yk +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
k |
= 2π |
|
|
M |
k |
M |
k +1 |
|
. |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что выражение (3) остается одним и тем же, независимо от того, какой из трех случаев a), b), или с) реализуется. Имеем
Mk Mk +1 = (xk+1 − xk )2 +( yk+1 − yk )2 = [x (tk+1 ) − x (tk )]2 +[y (tk +1 ) − y (tk )]2 .
Замечаем, что функции x (t), y (t) в промежутке [tk , tk +1] удовлетворяют усло-
виям теоремы Лагранжа. Следовательно, можно написать
x (tk +1 ) − x (tk ) = x′(τk ) ∆tk , τk [tk , tk+1], y (tk +1 ) − y (tk ) = y′(θk ) ∆tk , θk [tk , tk +1].
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Mk Mk +1 |
|
= |
[x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 ∆tk , |
|
|
|
|
|
Sk = 2π |
y (tk ) + y (tk +1 ) |
|
[x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 ∆tk , k = |
|
. |
|
0, n −1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Для площади Sлом. , образованной вращением всей ломаной M0 M1KMn |
вокруг |
оси Ox, будем иметь |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
Sлом. = π∑[y (tk ) + y (tk +1 )] [x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 ∆tk . |
(4) |
|
k =0 |
|
|
|
|
Введем в рассмотрение сумму |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
σ = 2π∑y (τk ) [x′(τk )]2 +[y′(τk )]2 ∆tk . |
(5) |
k =0
Видим, что σ является интегральной суммой Римана для интеграла
β
J = 2π∫y (t) [xt′(t)]2 +[yt′(t)]2 dt .
α
Из условий теоремы следует, что подынтегральная функция в J есть функция непрерывная на промежутке [α,β], следовательно, интеграл J существует. Зна-
чит, |
|
lim σ существует и равен |
|
~ |
|
~ |
|
λ→0 |
|
max |
{∆tk }. Заметим, что λ → 0 |
λ = |
|
|
k =0, n−1 |
β |
[xt′(t)]2 +[yt′(t)]2 dt . (Здесь |
2π∫y (t) |
α
~
λ → 0 .)
Рассмотрим очевидное равенство
Sлом. = σ +(Sлом. −σ). |
(6) |
Из (6) видим, что теорема будет доказана, если показать, что |
|
lim (S |
лом. |
−σ) = 0. |
(7) |
~ |
|
|
λ→0 |
|
|
|
Имеем
n−1
Sлом. −σ = π∑[y (tk ) + y (tk +1 )] [x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 ∆tk −
k =0
n−1
−π∑2 y (τk ) [x′(τk )]2 +[y′(τk )]2 ∆tk =
k =0
|
n−1 |
|
|
|
|
= π∑[y (tk ) + y (tk +1 ) −2 y (τk )] |
[x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 ∆tk + |
|
n−1 |
k =0 |
|
|
|
|
2 y (τk ) |
[x′(τk )]2 +[y′(θk )]2 |
− [x′(τk )]2 +[y′(τk )]2 |
|
|
+π∑ |
∆tk . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем оценку обеих сумм, стоящих в правой части (8). Возьмем ε > 0
– любое. |
t |
|
|
t |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
t |
t |
|
|
1. По условию, x′(t), y′(t) C |
|
|
[α,β] |
|
x′(t), y′(t) – ограниченные в [α,β] |
существует L > 0 |
такое, |
что |
|
|
|
xt′(t) |
|
≤ L , |
|
yt′(t) |
|
≤ L , для любого t [α,β] |
|
|
|
|
|
[xt′(t)]2 +[yt′(t)]2 ≤ L 2 , t [α,β], |
|
|
|
[xt′(τk )]2 +[yt′(θk )]2 ≤ L 2 , k = |
|
. |
|
0, n −1 |
Тогда будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π∑[y (tk ) + y (tk +1 ) −2 y (τk )] |
[xt′(τk )]2 +[yt′(θk )]2 ∆tk |
≤ |
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ πL |
2 ∑(y (tk +1 ) − y (τk ) + y (tk ) − y (τk ) ) ∆tk . |
(9) |
По условию |
( |
k =0 |
) |
|
|
|
|
y (t) – |
равномерно непрерывная на [α,β] |
|
y (t) C [α,β] |
|
|
|
взятому ε > 0 |
отвечает δ1 > 0 , зависящее только от ε, такое, что для любых двух |
точек t′, t′′ из [α,β], для которых |
|
t′′ −t′ |
|
< δ1 , будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t′′) − y (t′) < 4 |
|
|
ε |
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 πL(β−α) . |
|
|
|
|
|
|
Если брать дробление промежутка [α,β] на части [tk , tk +1] любое, но такое, что
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
, |
|
то будем иметь сразу |
для всех k = 0, n −1: |
|
tk − τk |
|
, |
λ < δ1 |
|
|
≤ λ < δ1 |
|
tk +1 − τk |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ λ < δ1 , откуда, принимая во внимание (10), получим: |
|
|
|
|
|
y (tk ) − y (τk ) < |
ε |
; y (tk +1 ) − y (τk ) < |
|
|
ε |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πL(β−α) |
|
πL(β−α) |
|
|
|
|
|
4 2 |
4 2 |
|
|
А значит, из (9)
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π∑[y (tk ) + y (tk +1 ) −2 y (τk )] [xt′(τk )] |
+[yt′(θk )] ∆tk |
|
< |
2 . |
|
|
|
|
k =0 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) – ограниченная на [α,β] |
|
2. По условию y (t) C [α,β] |
~ |
> 0 |
такое, что |
|
y (t) |
|
≤ |
~ |
[α,β] |
|
y (τk ) |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вует L |
|
|
L , t |
|
≤ L , k = 0, n −1. |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
−1 |
2 y (τk ) |
|
[x′(τk )]2 + |
[y′(θk )]2 − |
|
[x′(τk )]2 +[y′(τk )]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π∑ |
|
|
∆tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
~ n−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πL |
∑ |
[yt′(θk )] |
−[yt′(τk )] ∆tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь использовано неравенство: |
|
N − |
M |
≤ |
N − M |
, где N и M – любые две |
неотрицательные величины). |
|
|
[ |
|
t |
] |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию y′(t) C [α,β] |
|
|
|
y′(t) 2 |
C [α,β] |
по теореме Кантора: |
взятому |
ε > 0 |
отвечает |
δ2 > 0 , |
зависящее только от ε, такое, что для любых |
двух |
точек |
|
|
t′, t′′ [α,β], |
|
|
для |
|
|
которых |
|
t′′ −t′ |
|
< δ2 , |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
[yt′(t′′)]2 −[yt′(t′)]2 |
|
< |
|
~ |
2 |
ε2 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2πL ) |
|
4(β−α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем дробление промежутка [α,β] на части [tk , tk +1] любое, но такое,
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θk − τk |
|
~ |
|
|
|
и, следователь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чтобы было λ < δ2 . Тогда для всех k = 0, n −1: |
|
|
≤ λ < δ2 |
но, сразу для всех k = |
|
: |
|
[yt′(θk )]2 −[yt′(τk )]2 |
|
|
< |
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
2 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n −1 |
|
~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2πL ) |
|
4(β− |
α) |
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
2 |
|
|
|
|
ε (β−α) |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
< |
2πL |
= |
. |
|
(12) |
|
2πL |
[yt′(θk )] |
−[yt′(τk )] ∆tk |
|
~ |
|
|
(β−α) |
2 |
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πL 2 |
|
|
|
|
|
|
Положим δ = min{δ1,δ2} и возьмем дробление промежутка [α,β] на части |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[tk , tk +1] любое, но такое, чтобы было λ < δ. Тогда будут выполняться одновре- |
менно оба неравенства (11) и (12) и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sлом. −σ |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
Последнее неравенство получено нами лишь в предположении, |
|
|
|
|
|
что λ < δ. Зна- |
чит, lim (S |
лом. |
−σ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. Теорема 2. Пусть (AB кривой задана явным уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y (x), x [a, b], |
a < b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
y ( x) |
имеет в промежутке [a, b] |
непрерывную производную |
y′(x) . Тогда поверхность, образованная вращением (AB вокруг оси Ox, имеет площадь S, причем
b |
|
S = 2π∫ y ( x) 1+( yx′ )2 dx . |
(13) |
a
Представление (AB кривой явным уравнением y = y (x) , x [a, b], может быть рассмотрено как параметрическое:
x = t, |
t [a, b], a < b . |
|
y = y (t), |
|
Тогда утверждения, высказанные в этой теореме, сразу вытекают из предыдущей теоремы.
2°. Теорема 3. Пусть (AB кривой задана уравнением в полярных координатах
r = r (ϕ), ϕ [α,β], α <β.
Пусть функция r (ϕ) имеет в [α,β] непрерывную производную r′(ϕ). Тогда по-
верхность, образованная вращением (AB вокруг полярной оси (вокруг оси Ox), имеет площадь S, причем
β |
|
S = 2π∫r (ϕ) sin ϕ [r (ϕ)]2 +[r′(ϕ)]2 dϕ. |
(14) |
α
Утверждения, высказанные в теореме 3, вытекают из теоремы 1, если принять ϕ за параметр и вспомнить, что x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
3°. Формулы (2), (13), (14) для площади S поверхности вращения могут быть объединены в одну, а именно
( A)
Здесь ρ есть расстояние от точек (AB ренциал длины дуги кривой. Символы
кривой до оси вращения; dl – диффе- ( A) и (B) показывают, что нужно ин-
тегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой A и B.
y B a
−a
Рис. 3.25. К вычислению площади поверхности вращения в примере 1
|
|
3 |
t, |
|
x = a cos |
|
вращает- |
Пример 1. Астроида |
3 |
|
|
t |
|
y = a sin |
|
|
|
ся вокруг оси Ox. Найти площадь S поверхности вращения (рис. 3.25).
Воспользовавшись симметрией фигуры,
~
достаточно вычислить площадь S поверхности, образованной вращением (AB астроиды вокруг оси Ox.
(AB представляется параметрическими
уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
π |
x = a cos |
|
t |
|
3 |
|
0, |
2 |
. |
|
|
|
t, |
|
|
|
y = a sin |
|
|
|
|
|
|
Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
a2 (1−cos3 t −sin3 t) 3a sin t cos t dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
S = 2π ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
2 πa2 ∫(sin t cos t −cos4 t sin t −sin4 t cos t) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
2 πa |
2 |
|
1 |
sin |
2 |
t + |
1 |
cos |
5 |
|
t − |
1 |
sin |
5 |
|
|
3 2 |
πa |
2 |
(кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
t |
= |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Лемниската r = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
вращается |
|
вокруг полярной |
оси. |
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
Найти |
площадь |
|
|
|
S |
|
|
поверхности |
|
|
|
вращения (рис. 3.28). |
|
|
|
Принимая во внимание симметрию фигуры, достаточно вычислить пло- |
щадь |
поверхности, |
образованной |
|
|
вращением (AB |
лемнискаты |
вокруг |
оси |
|
(AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
ϕ = 0 . |
представляется |
уравнением |
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, ϕ 0, |
|
. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = y = r sin ϕ |
ρ = a cos 2ϕ sin ϕ, ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
r |
2 |
(ϕ) +[r′ |
2 |
dϕ = |
|
|
a |
2 |
|
|
|
2ϕ |
|
+a |
2 sin2 2ϕ |
dϕ |
|
|
|
a dϕ |
|
. |
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π ∫ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫sin ϕdϕ = |
|
|
|
|
|
S |
cos 2ϕ sin ϕ |
|
|
cos 2ϕ = 2πa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2πa |
2 |
cos |
ϕ |
|
π 4 |
= 2πa |
2 |
|
|
|
1 |
(кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 − |
2)(кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда S = 2S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Рис. 3.28. К вычислению площади |
Рис. 3.29. К вычислению площади |
поверхности в примере 4 |
поверхности вращения в примере 5 |
Пример 5. Лемниската r = a |
|
вращается вокруг оси ϕ = π . Найти |
cos 2ϕ |
|
|
2 |
площадь S поверхности вращения (рис. 3.29).
И здесь, воспользовавшись симметрией фигуры, достаточно найти пло-
~
щадь S поверхности, образованной вращением (AB лемнискаты вокруг оси
ϕ = |
π |
(вокруг |
оси Oy). |
(AB |
представляется уравнением |
|
r = a |
cos 2ϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
ρ = x |
= r cos ϕ |
ρ = a |
|
cos 2ϕ cos ϕ |
, ϕ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
. В этом случае |
|
0, |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
a dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
a dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π ∫ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫cos ϕdϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
cos 2ϕ cos ϕ |
cos 2ϕ = 2πa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
= 2πa2 sin ϕπ0 |
4 = |
|
|
2 πa2 (кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=x |
|
|
|
Пример |
|
6. |
|
|
|
|
Лемниската |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = a |
cos 2ϕ |
|
вращается вокруг оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = π |
. Найти площадь S поверхно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B x |
сти вращения (рис. 3.30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
поверхно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем площадь S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти, образованной вращением во- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
круг |
|
|
прямой |
|
|
y = x |
|
|
(прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 0 ) |
|
лепестка |
OABCO лемни- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скаты. Ясно, что |
|
|
S = |
|
~ |
(в |
|
силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметрии). Лепесток OABCO оп- |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.30. К вычислению площади |
ределяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
r = a |
cos 2ϕ , ϕ |
|
− |
π |
, |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности вращения в примере 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
r |
2 |
|
|
|
|
2 |
dϕ = |
a dϕ |
|
, ϕ |
|
|
− |
π |
, |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ϕ) +[r′] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем расстояние ρ от точек |
|
) |
лемнискаты до прямой |
|
x − y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
x (ϕ), y (ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
a cos 2ϕ cos ϕ −a |
|
cos 2ϕ sin ϕ |
= |
a |
cos 2ϕ |
|
cos ϕ −sin ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
cos 2ϕ (cos ϕ −sin ϕ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как cos ϕ −sin ϕ ≥ 0 , ϕ |
|
, |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
4 |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|