Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Замечание. Совершенно аналогично доказывается утверждение:

Пусть ограниченная функция f (x) задана на [c, d] и непрерывна там всюду,

за исключением точки c. Тогда		(	)
		f (x) R [c, d] .
Обобщение теоремы 3. Пусть ограниченная функция				f (x) задана на [a, b]
и непрерывна там всюду, за		исключением конечного		числа точек. Тогда
(	)
f (x) R [a, b] .

Ясно, что промежуток [a, b] можно разбить на конечное число участков, в каждом из которых будет находиться лишь одна точка разрыва функции f (x) ,

причем эта точка будет лежать на конце участка (рис. 1.10). Пусть, например, f (x) имеет внутри промежутка [a, b] три точки разрыва. Во всех остальных

точках промежутка [a, b] f (x) – непрерывна. В этом случае, как видим, промежуток [a, b] может быть разбит на шесть участков. На каждом из шести участков функция f (x) непрерывна всюду, за исключением одной точки, лежащей на конце участка.

a	b
	Рис. 1.10. К доказательству обобщения теоремы 3

По теореме 3 функция f (x) интегрируема на каждом таком участке. Пользуясь затем теоремой 3 предыдущего параграфа, приходим к заключению, что f (x) R([a, b]).

Пример 1. Пусть дана функция f (x) , определенная на промежутке [0, 3] следующим образом: y

1,	если	0 ≤ x <1,
	если 1 ≤ x < 2,
f (x) = 0,
	если	2 ≤ x ≤ 3.
3,

Эта функция – ограниченная и непрерывная на [0, 3] всюду, за исключением точек x =1 и x = 2

(только	две	точки	разрыва).	Вывод:
(	)	(см. обобщение теоремы 3).
f (x) R [0, 3]		(см. обобщение теоремы 3).

Пример 2. Пусть дана функция f (x) , определенная на промежутке [0,1] следующим образом:

1 2 3 x

Рис. 1.11. График функции из примера 1

1 2

3 4

1	3	1
2	4

Рис. 1.12. График функции из примера 2

		0,			если

		1		,	если
		2		,	если
		2

f ( x) = . . . . .
	2	n−1			1, если
	2	2	n−−1		1, если
		2
. . . . .
			1,		если
			1,		если

0 ≤ x < 12 ,

12 ≤ x < 43 ,

. . . .

2n−1−−1 ≤ x < 2n −1, 2n 1 2n

. . . .

x =1.

Эта функция – ограниченная на [0,1] и моно- тонно возрастающая там (рис. 1.12). Вывод:

f ( x) R([0,1]) (см. теорему 2).

Замечание. В примере 2 мы имели функцию f ( x) , которая на промежутке [0,1] име-

ет бесконечное число точек разрыва. Пример 3. Пусть дана функция f ( x) , определенная на промежутке [0,1]

следующим образом:

	0,		если	x = 0,

	x ln x
f ( x) =	x ln x	,	если	0 < x <1,
f ( x) =	1− x	,	если	0 < x <1,
	1− x			x =1.
	−1,		если
	−1,		если

Непрерывность этой функции f ( x) в (0,1) очевидна. Имеем далее:

lim	f (x) = lim	x ln x		= 0 = f (0)			( f ( x) непрерывна справа в точке x = 0 );

x→+0	x→+0	1− x
lim	f ( x) = lim		x ln x			= −1 = f (1)	( f ( x) непрерывна слева в точке x =1).

x→1−0	x→1−0 1− x
Видим, что f ( x) C [0,1]						f ( x) R [0,1] (см. теорему 1).
		(			)		(	)

Пример 4. Пусть функция f ( x) задана на промежутке [a, b] следующим об-

разом:
ci ≠ 0,		если	x = xi , ( xi	[a, b], i =		), p – конечное число,
					1, p
f ( x) =	0,	если	x [a, b] и	x ≠ xi.

Видим, что f ( x) – ограниченная на [a, b] и что f ( x) – непрерывная на [a, b] всюду, за исключением конечного числа точек. По обобщению теоремы 3 заключаем: f ( x) R([a, b]).

a x1

Рис. 1.13. График функции из примера 4

Покажем, что ∫ f (x) dx = 0 . Для этого берем произвольное разбиение про-

межутка [a, b] на части [xk , xk +1] и составляем интегральную сумму Римана

n−1

σ= ∑ f (ξk ) ∆xk .

k=0

Вэтой сумме отличных от нуля слагаемых не более чем p (p – конечное число),

причем каждое такое слагаемое, отличное от нуля, – бесконечно малая величина (б.м.в.) при λ → 0 . Но тогда и σ – б.м.в. при λ → 0 (как сумма конечного

числа б.м.в.). Следовательно, lim σ = 0 , т.е. ∫ f (x) dx = 0 .

λ→0

§4. Действия над интегрируемыми функциями

Теорема 1. Пусть f ( x) R([a, b]), и пусть α – определенное число. Тогда

α f ( x) R([a, b]), причем

b b

∫αf ( x) dx = α∫ f (x) dx .

a a

Возьмем произвольное разбиение промежутка [a, b] на части [xk , xk +1] и составим интегральную сумму Римана для функции αf (x) . Будем иметь

n−1	n−1
σ(αf ) = ∑αf (ξk ) ∆xk = α∑ f (ξk ) ∆xk = α σ( f ) .
k =0	k =0

По условию,

(

)

lim σ( f )

существует, конечный и равный

f ( x) R [a, b]

λ→0

∫ f (x) dx . Но тогда

lim σ(αf ) = α lim σ( f ) = α

∫

( x) dx ,

λ→0

т.е. lim σ(αf ) существует, конечный

∫

αf ( x) dx существует, причем

λ→0

∫αf ( x) dx = α∫ f (x) dx .

Теорема

(

)

(

)

Пусть

(

f ( x) R [a, b]

g( x) R [a, b] . Тогда

)

(

)

f ( x) ± g( x)

R [a, b] , причем

∫(f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x) dx ± ∫g(x) dx .

Берем произвольное разбиение промежутка [a, b] на части [xk , xk +1] и составляем интегральную сумму Римана для функции f ( x) ± g( x) . Будем иметь:

	n−1				n−1			n−1
σ( f ± g) = ∑(f (ξk ) ± g(ξk ))∆xk = ∑ f (ξk ) ∆xk ± ∑g(ξk ) ∆xk = σ( f ) ± σ( g) .
	k	=0	(	)	k =0		)	k =0
По условию			(	)		(	)		существуют		конечные
По условию			f ( x) R [a, b] и		g( x) R [a, b]				существуют		конечные
lim σ( f ) и lim σ( g). Но тогда существует конечный lim σ( f ± g) , причем
λ→0	λ→0							λ→0
			lim σ( f ± g)		= lim σ( f ) ± lim σ( g)
			λ→0		λ→0		λ→0
b	(f (x) ± g(x))dx существует, причем
∫	(f (x) ± g(x))dx существует, причем
a			b			b	b
			b			b	b
			∫(f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x) dx ± ∫g(x) dx .
			a	(	)	a	a
Теорема 3. Пусть f ( x) R [a, b] . Если в конечном числе точек промежутка
[a, b]	изменить значения функции f ( x) , то от этого интегрируемость функции
не нарушится и величина интеграла не изменится.
	Изменим значения функции				f ( x) в точках xi ( i =					, p – конечное число;
	Изменим значения функции				f ( x) в точках xi ( i =				1, p	, p – конечное число;
									~		x [a, b].
xi [a, b]). В результате получим некоторую новую функцию f (x) ,											x [a, b].

Положим

r (x) =

x [a, b].

(1)

f (x) − f (x),

Функция r (x)

на промежутке [a, b] будет задана так:

если x = xi ,

(xi

[a, b],

i =1, p),

r (x) = ci ≠ 0,

если

x [a, b]

x ≠ xi.

(

)

и что

Было показано (см. пример 4 предыдущего параграфа), что r (x) R [a, b]

∫r (x) dx = 0.

Из (1) имеем

= f (x)

+ r(x) . Так как

f (x) R [a, b]

и r (x) R [a, b]

, то

f (x)

(

)

(

)

по теореме 2 заключаем, что

, причем

f (x) R [a, b]

(

)

∫

f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫r (x) dx = ∫ f (x) dx + 0 = ∫ f (x) dx .

Теорема

Пусть

f (x) R [a, b] .

Тогда

f (x)

R [a, b] ,

причем

(

)

(

)

∫ f (x) dx

≤ ∫

f (x)

dx .

(

)

f (x) – ограниченная на [a, b] ,

т.е.

По условию f (x) R [a, b] . Значит,

существует число L > 0

такое, что

f (x)

≤ L ,

x [a, b]. Последнее означает, что

функция

f (x)

– ограниченная на [a, b] . Но тогда существуют m = inf

f (x) ,

M = sup

f (x)

f ( x)

f (x)

}

[a,b]{

}

= sup

, а следовательно, существуют

m = inf

, M

[a,b]{

}

[a,b]{

}

[a,b]

{

f (x)

на [a, b] ).

Ω = M − m и Ω = M − m (Ω – колебание

f ( x) , а Ω – колебание

Легко понять, что Ω ≤ Ω.

разбиение промежутка [a, b]

[xk , xk +1],

Возьмем

произвольное

на

части

k = 0, n −1. Пусть ωk

– колебание

f ( x)

f (x)

на

на [xk , xk +1], ωk – колебание

≤ ωk

∆xk

≤ ωk

∆xk , k

= 0, n

−1,

[xk , xk +1]. Имеем 0 ≤ ωk

, k = 0, n −1. Тогда 0 ≤ ωk

и, следовательно,

n−1 ~

n−1

0 ≤ ∑ωk ∆xk

≤ ∑ωk ∆xk .

(2)

k =0

n−1

k =0

(

)

λ→0

Так как

то

∑

∆x

= 0 . Тогда из (2)

заключаем,

что

f ( x) R [a, b] ,

lim

n−1 ~

k =0

lim

∑

∆x

= 0 . Последнее означает, что

(x)

R [a, b] .

λ→0

(

)

k =0

Имеем, далее,

n−1

∑ f (ξk ) ∆xk

≤ ∑

f (ξk )

∆xk ,

≤ σ(

k =0

т.е.

σ( f )

). Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 , по-

лучим

∫ f ( x) dx

≤ ∫

f (x)

dx .

Теорема

Пусть

f ( x) R [a, b]

g( x) R [a, b]

. Тогда

(

)

(

)

p(x) = f ( x) g( x) R [a, b] .

(

)

По условию

f ( x) R [a, b]

и g( x) R [a, b]

. Значит, эти функции – ог-

(

)

(

)

раниченные на [a, b] , т.е. существуют числа Lf

> 0 и Lg > 0 такие, что

f (x)

≤ Lf ,

g(x)

≤ Lg ,

x [a, b].

(3)

Существуют также числа M f , mf ,

Mg , mg :

= sup

f (x) , m

= inf

{

f (x) ,

= sup

g(x) ,

m = inf

g(x) ,

[a,b]{

}

[a,b]

}

[a,b]{

}

[a,b]{

}

а, следовательно, существуют

Ωf = M f − mf ,

Ωg = Mg − mg

(4)

( Ωf – колебание функции

f ( x) , Ωg – колебание функции g( x)

на [a, b] ).

Пусть u и v – любые две точки из [a, b] . Имеем

p(u) − p(v) = f (u)g(u) − f (v)g(v) = f (u)g(u) − f (u)g(v) + f (u)g(v) − f (v)g(v) =

f (u)

(

)

(

)

g(u) − g(v) + g(v)

f (u) − f (v)

p(u) − p(v)

≤

f (u)

g(u) − g(v)

g(v)

f (u) − f (v)

123

14243

123

142443

≤ Lf

≤ Ωg

≤ Lg

≤ Ωf

p(u) − p(v)

≤ Lf Ωg + LgΩf

Ωp ≤ Lf Ωg + LgΩf .

(5)

Возьмем

теперь

произвольное

разбиение промежутка [a, b] на

части

[xk , xk +1], k =

. Пусть ω(pk ) , ω(fk ) ,

ω(gk )

– колебания функций

p( x),

f ( x) ,

0, n −1

g( x) на [xk , xk +1] соответственно. Нетрудно понять, что

ω( k )

≤ L

ω( k ) + L ω( k )

k =

(6)

0, n −1.

Умножим обе части неравенства (6) на ∆xk

( ∆xk > 0) и просуммируем по k от 0

до n −1. Получим:

n−1

0 ≤ ∑ω(pk )∆xk ≤ Lf

∑ω(gk )∆xk + Lg ∑ω(fk )∆xk .

(7)

(

k =0

(

k =0

)

k =0

)

, то

Так как f ( x) R [a, b] и g( x) R [a, b]

n−1

λlim→0

∑ω(fk )∆xk = 0,

λ→lim0 ∑ω(gk )∆xk = 0 .

k =0

Тогда, переходя к пределу при λ → 0 в (7), будем иметь

n−1

ω( k )∆x

p(x) = f (x) g(x) R [a, b] .

lim

= 0

λ→0 ∑

(

)

k =0

§5. Свойства определенного интеграла

1°. ∫dx = b −a .

f ( x) ≡1, x [a, b]. Поэтому,

В самом деле, здесь

взяв любое разбиение

промежутка [a, b] на части [xk , xk +1],

k =

, и выбрав произвольно точки

0, n −1

ξk в [xk , xk +1], будем иметь f (ξ0 ) =1;

f (ξ1 ) =1; K ;

f (ξn−1 ) =1. Следователь-

но,

n−1

σ = ∑ f (ξk ) ∆xk =

∑1 ∆xk =

∑∆xk = b −a

lim σ = b −a .

k =0

λ→0

2°. В определенном интеграле ∫ f (x) dx		вместо x можно писать любую дру-
гую букву. Так что	a
гую букву. Так что
b	b	b
∫ f (x) dx = ∫ f (t) dt =K= ∫ f (z) dz .			(1)
a	a	a
Действительно, если взять произвольное разбиение промежутка [a, b] на
частичные промежутки и выбрать произвольно точки ξk			(по одной в каждом
частичном промежутке), то для функций		f ( x) , x [a, b];	f (t), t [a, b]; K ;

f ( z), z [a, b] мы получим одну и ту же величину σ. Следовательно, и величи-

на определенного интеграла не будет зависеть от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования.

Замечание (о расширении смысла символа ∫ f (x) dx ). Пусть

f ( x) R([a, b]), a < b . Условимся считать

a	b
∫ f (x) dx = −∫ f (x) dx .		(2)
b	a

Условимся считать также

		a
		∫ f (x) dx = 0 .				(3)
		a	{	}	{	}
3°. Пусть a, b, c – три числа. Пусть			{	}	{	}
3°. Пусть a, b, c – три числа. Пусть			p = min a, b, c ;		q = max a, b, c . Тогда,
(	)
если f ( x) R [ p, q] , то справедливо равенство
	b	c	c
	∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx .					(4)
	a	b	a

Если все три числа a, b, c равны между собой, или если равны любые два из этих чисел, то (4) выполняется (это очевидно). Пусть теперь a, b, c – различные числа. Могут иметь место следующие случаи:

1) a < b < c	4) b < c < a
2) a < c < b	5) c < a < b
3) b < a < c	6) c < b < a .

В случае 1) соотношение (4) верно (это следует из теорем 2 и 3 §2). Все остальные пять случаев сводятся к случаю 1).

Действительно, рассмотрим, например, случай 5). Из теорем 2 и 3 §2 следу-

ет

	a	b	b
	∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx
	c	a	c
принимая во внимание (2),
c	b	c	b	c	c

− ∫ f ( x) dx + ∫ f (x) dx = −∫ f ( x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx ,

a a b a b a

а это и требовалось установить.

4°. Теорема об интегральном среднем значении функции в промежутке.

Пусть f ( x) R([a, b]). Тогда

				b
				∫ f (x) dx = µ(b −a) ,				(5)
				a				m ≤ µ ≤ M
где µ	– некоторое		число,		удовлетворяющее неравенству
( m = inf	f ( x)	, M = sup	{	f (x) ).
[a,b]{	}	[a,b]		}
1) Если b = a , то (5) выполняется для любого µ [m, M ].
2) Обсудим		случай,	когда		a < b (порядок пределов		нормальный). Берем
произвольное		разбиение		промежутка [a, b]		на части	[xk , xk +1]	( k =		;
									0, n −1
∆xk > 0)	и выбираем произвольно точки ξk					(по одной в каждом частичном

промежутке). При любом k = 0, n −1 будем иметь m ≤ f (ξk ) ≤ M . Умножим обе

части этого двойного неравенства на ∆xk ( ∆xk > 0) и просуммируем по k от 0 до n −1. Получим

n−1	n−1	n−1
m∑	∆xk ≤ ∑ f (ξk )∆xk ≤ M ∑∆xk ,
k =0	k =0	k =0

т.е.			m (b −a) ≤ σ( f ) ≤ M (b −a) .					(6)
			m (b −a) ≤ σ( f ) ≤ M (b −a) .					(6)
						b
У нас f ( x) R [a, b]			lim σ( f ) =			∫	f (x) dx . Переходя в (6) к пределу при
(		)	λ→0			∫
λ → 0 , получим						a
λ → 0 , получим				b
				b
			m (b −a) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b −a) .					(7)
				a
Мы обсуждаем случай, когда a < b ,						т.е. когда b −a > 0 .		Разделив все части
двойного неравенства (7) на b −a , будем иметь
				1	b
			m ≤	1	∫ f ( x) dx ≤ M .
			m ≤	b −a	∫ f ( x) dx ≤ M .
		b			a			b
	1	b						b
Обозначим	1	∫ f ( x) dx = µ (ясно, что m ≤ µ ≤ M ). Тогда ∫ f (x) dx = µ(b −a) ,
Обозначим	b −a
		a						a
а это и требовалось установить.
3). Рассмотрим теперь случай, когда a > b . Мы знаем, что
			b				a
			∫ f (x) dx = −∫ f (x) dx .					(8)
	a		a				b
	a

У интеграла ∫ f (x) dx порядок пределов нормальный ( b < a ). В пункте 2) было

установлено для такого интеграла

∫ f (x) dx = µ(a −b), m ≤ µ ≤ M .

Принимая во внимание (8), последнее соотношение можно переписать в виде

		b	b
		− ∫ f ( x) dx = −µ(b −a) ∫ f ( x) dx = µ(b − a) .
		a	a
Частный	)	случай теоремы	об интегральном среднем. Пусть
(	)	. Тогда на промежутке [a, b] обязательно найдется по крайней
f ( x) C [a, b]

мере одна точка c такая, что будет

∫ f (x) dx = f (c)(b −a) .

(	a	)	f ( x) достигает в [a, b] своих наименьше-
По условию, f ( x) C [a, b]			f ( x) достигает в [a, b] своих наименьше-
го m и наибольшего M значений. Так как				(	)	(	)
го m и наибольшего M значений. Так как				f ( x) C [a, b] , то		f ( x) R [a, b] . То-
гда, по теореме о среднем,
b
∫ f (x) dx = µ(b −a) ,				где m ≤ µ ≤ M .

Значения m и M f ( x) принимает на [a, b] . Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значении для функции f ( x) C([a, b]) заключаем: на [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка c такая, что будет f (c) = µ, а значит, и в этом случае

∫ f (x) dx = f (c)(b −a) .

Замечание 1. Число µ, определяемое соотношением µ =

∫ f ( x) dx , на-

b −a

зывается интегральным средним значением

функции f ( x) на промежутке

[a, b] .

К этому понятию приводят следующие рассуждения. Разобьем промежуток

[a, b] на n частичных промежутков [xk , xk +1],

k =

, равной длины. Тогда

0, n −1

∆x

b −a

для любого k =

. В каждом частичном промежутке [x

, x

]

0, n −1

k +1

возьмем среднюю точку ξk , k = 0, n −1, и находим f (ξk ) . Составим среднее арифметическое найденных значений функции. Это будет

fcp

n−1

f (ξ

) + f (ξ )

+K+ f (ξ

n−1

)

∑ f (ξk )

= k =0

(b −a)

n−1

b −a

∑ f (ξk ) =

∑ f (ξk )

(b −a)

b −a

k =0

n−1

∑ f (ξk ) ∆xk λ→→0

∫ f ( x) dx .

b −a

k =0

(λ=∆xk )

Следует отметить, что интегральное среднее значение функции широко используется в инженерной и естественнонаучной практике.

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.05.20142.79 Mб94 семестр (СРВМ).tif
#
01.05.201472.7 Кб35Двойной интеграл.DOC
#
01.05.201444.03 Кб49Еще одна шпора по матану.doc
#
01.05.2014458.74 Кб55Индивидуальное задание 1 по спецглавам матана.mcd
#
01.05.20141.3 Mб52Кратные интегралы.doc
#
01.05.20143.1 Mб126Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла.pdf
#
01.05.20142.6 Mб42Математический анализтеория рядов.pdf
#
01.05.2014617.98 Кб24Производная.doc
#
01.05.201492.67 Кб60Решение типовика по пределам.doc
#
01.05.201497.07 Кб18Специальные главы Матана.mcd
#
01.05.2014129.54 Кб161Шпаргалка на ряды и разные интегралы.DOC