Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

Замечание 2 (геометрическая ин-

y

терпретация теоремы об интегральном

среднем

значении

функции).

Пусть

(

)

и f ( x) ≥ 0 , x [a, b]

f ( x) C [a, b]

f (c) =µ

( a < b ). В этом частном случае из со-

отношения (5) следует, что существует

прямоугольник с высотой

µ = f (c) и

x

длиной основания (b −a) , площадь ко-

a

c

b

торого равна площади криволинейной

Рис. 1.14. Геометрическая

трапеции,

ограниченной

линиями:

интерпретация теоремы об интегральном

y = 0 , y = f (x) , x = a , x = b .

среднем значении функции

Примеры.

1. Определить

интегральное

среднее

значение

функции

f ( x) = sin x sin ( x +ϕ) на промежутке [0, 2π].

1

2π

1

2π

fcp =

∫sin x sin (x +ϕ) dx =

∫12 [cos ϕ − cos(2x +ϕ)]dx =

2π

2π

0

0

x=2π

1

1

cos

ϕ

=

x cos ϕ −

2

sin (2x +

ϕ)

=

2

.

4π

x=0

2πt

2. Сила переменного тока меняется по закону

i = i

i

sin

+ϕ

, где

–

0

T

0

Теорема

1. Пусть f ( x) R [a, b] ( a ≤ b ), и пусть

f (x) – такая, что

(

)

A ≤ f (x) ≤ B ,

x [a, b]. Тогда

b

A(b −a) ≤ ∫ f (x) dx ≤ B(b −a) .

(1)

b

∫ f (x) dx = µ(b −a) , где m ≤ µ ≤ M

(2)

a

( m = inf

f (x) ,

M = sup

f (x) ).

[a,b]{

}

[a,b]{

}

По условию,

A ≤ f (x) ≤ B , x [a, b]

числа A и B являются соответствен-

но нижней

и

верхней

границами

множества

{

f (x) ,

x [a, b]. Значит,

}

последнего неравенства на

(b −a)

(у нас b > a

b −a > 0 ). Получим

b

A(b −a) ≤ µ(b −a) ≤ B(b −a) .

Из (2):

µ(b −a) = ∫ f (x) dx .

Тогда предыдущее

Замечание. Из доказанной теоремы вытекают следующие утверждения.

(

)

Утверждение 1. Пусть f (x) R [a, b] ( a ≤ b ), и пусть f (x) ≥ 0 , x [a, b].

b

Если в теореме 1 положить A = 0 , то получим утверждение 1.

Утверждение 2. Пусть

(

)

(

)

f (x) R [a, b] , g(x) R [a, b] ( a ≤ b ). Пусть

b

b

f ( x) ≤ g(x) , x [a, b]. Тогда

∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx ,

т.е. неравенство можно ин-

a

a

тегрировать, если порядок пределов нормальный.

x [a, b]. Ясно, что

Введем в рассмотрение функцию ϕ(x) = g(x) − f (x) ,

(

)

. Но тогда из утверждения 1 следует:

ϕ(x) ≥ 0 , x [a, b], и что ϕ(x) R [a, b]

b

∫ϕ(x) dx ≥ 0 , т.е.

a

b

b

b

∫(g(x) − f (x))dx ≥ 0 ∫ f (x) dx ≤ ∫g(x) dx .

a

a

a

a

x0−δ x0 x0+δ b x

b

x0 −δ

x0 +δ

b

∫ f (x) dx =

∫ f ( x) dx +

∫ f ( x) dx +

∫ f (x) dx .

(3)

a

x0

a

x0 −δ

x0 +δ

−δ

b

По

утверждению 1:

∫ f (x) dx ≥ 0 ;

∫ f (x) dx ≥ 0 .

По

теореме 1:

x0 +δ

a

x0 +δ

h

b

∫ f (x) dx >

. Тогда из (3) следует: ∫ f (x) dx > 0.

2 2δ = h δ > 0

x0 −δ

a

Замечание. Справедливо утверждение:

(

)

( a < b ).

Пусть

f (x) ≥ 0 , x [a, b].

Тогда

если

Пусть f ( x) C [a, b]

b

∫ f (x) dx = 0 , то f (x) ≡ 0 , x [a, b].

a

Рассуждаем от противного. Предположим, что в [a, b] имеется хотя бы

одна

точка

x0

такая,

что

f (x0 ) > 0. Тогда по

теореме

2

должно

быть

b

b

∫ f (x) dx > 0, а это не так (по условию ∫ f (x) dx = 0 ).

a

(

a

)

Теорема

3.

Пусть

f ( x) R [a, b]

. Пусть

f (x)

≤ K ,

x [a, b].

Тогда

b

∫ f (x) dx

≤ K

b −a

.

a

b

[a,b]{

}

По теореме о среднем

∫

f (x) dx = µ(b −a) , где m ≤ µ ≤ M

( m = inf

f (x) ,

M = sup

{

}

a

f (x) ). Тогда

[a,b]

b

∫ f (x) dx

=

µ

b −a

.

(4)

a

ственно нижней и верхней границами множества

{

}

x [a, b]. Следова-

f (x) ,

тельно, − K ≤ m ≤ µ ≤ M ≤ K − K ≤ µ ≤ K , т.е.

µ

≤ K

µ

b −a

≤ K

b −a

.

b

Тогда из (4) получаем

∫ f (x) dx

≤ K

b −a

.

a

Примеры.

0 ≤

cos2 x

≤

1

<

1

.

128

Поэтому

1+ x8

1+128

20 cos2 x

1

8

1

0 <

∫

dx <

(20 −12) =

<

.

1+ x8

128

128

107

12

2. Пусть функция

f ( x) задана на [0,1] следующим образом:

f ( x) =

x x

, x (0,1],

1,

x = 0.

(

)

f (x) = lim x x = lim ex ln x

Имеем lim

=1 = f (0)

f ( x) C [0,1]

x→+0

x→+0

x→+0

(

)

1

∫

x x dx существует. Произведем оценку этого интеграла.

f ( x) R [0,1] , т.е.

0

f ( x) в

Для этого найдем наименьшее и наибольшее значения функции

[0,1]. Имеем для

x (0,1) :

y′ = (x x )′

= (ex ln x )′ = ex ln x (ln x +1)

y′

= 0

лишь в точке x = 1

x

x

x

x

(в остальных точках промежутка (0,1)

y′ существует, ко-

e

x

1

нечная, отличная от нуля). Из выражения для

y′ следует:

y′ < 0 ,

0,

x

e

, и

x

x

y′ > 0 ,

1

точка x =

1

– точка минимума функции

y = x

x

x

,1

e

x

e

( ymin = e

−1

f (0) =1; f (1) =1. Вывод: наименьшее зна-

e = 0.692... ). Имеем далее:

чение нашей функции m = e

−1

e ; наибольшее значение M =1.

Таким образом, получаем неравенство

1

1

1

1

e−e (1−0) ≤ ∫x x dx ≤1 (1−0), т.е. e−e ≤ ∫x x dx ≤1.

0

0

российский математик, Шварц К.Г., 1843–1921 – немецкий математик).

(

)

g( x)

(

)

Пусть f ( x) R [a, b] ;

R [a, b] ( a ≤ b ). Пусть λ – любое, вещест-

венное. Имеем

b

[f (x) + λg(x)]2 dx ≥ 0

∫

b

a

b

b

λ2 ∫g2 ( x) dx + 2λ∫ f (x) g(x) dx + ∫ f 2 (x) dx ≥ 0 .

(5)

a

a

a

b

b

b

Обозначим ∫g2 ( x) dx = α;

∫ f (x) g(x) dx = β; ∫ f 2 ( x) dx = γ . В новых обозначе-

a

a

a

ниях (5) примет вид

αλ2 + 2βλ + γ ≥ 0 .

(6)

Так как трехчлен αλ2 + 2βλ + γ неотрицателен для всех λ лишь тогда,

когда

β2 −αγ ≤ 0 , то в силу (5)

b

2

b

b

∫ f ( x) g( x) dx

≤

∫ f 2 ( x) dx ∫g2 ( x) dx ,

(7)

a

a

a

или

b

b

b

∫ f ( x) g( x) dx ≤

∫ f 2 ( x) dx

∫g2 ( x) dx .

(8)

a

a

a

b

b

~

∫ f ( x) dx ≤

b −a ∫ f

2

( x) dx .

( 8 )

a

a

b

b

∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx ,

(1)

a

a

где µ – некоторое число, удовлетворяющее условию m ≤ µ ≤ M .

Заметим, что если a = b , то соотношение (1)

выполняется для любого

µ [m, M ].

1) Обсудим случай, когда a < b . По условию имеем:

m ≤ f (x) ≤ M,

x [a, b].

(2)

b

b

b

m∫g(x) dx ≤ ∫ f (x) g(x) dx ≤ M ∫g(x) dx , если g( x) ≥ 0 ,

(3)

a

a

a

b

b

b

m∫g(x) dx ≥ ∫ f (x) g(x) dx ≥ M ∫g(x) dx , если g( x) ≤ 0 .

(4)

a

a

a

b

b

b

a

∫g(x) dx > 0 ,

если g( x) ≥ 0 ,

x [a, b],

a

и

b

∫g(x) dx < 0 ,

если g( x) ≤ 0 ,

x [a, b].

a

b

m ≤

a

≤ M .

(5)

b

∫g( x) dx

b

a

∫ f ( x) g( x) dx

Обозначим

a

= µ (ясно, что m ≤ µ ≤ M ). Тогда

b

∫g(x) dx

a

b

b

∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx ,

a

a

b

a

∫ f (x) g(x) dx = −∫ f (x) g(x) dx ,

(6)

a

b

b

a

∫g(x) dx = −∫g( x) dx .

(7)

a

b

a

a

b

b

Для таких интегралов в пункте 1) было установлено

a

a

∫ f (x) g(x) dx = µ∫g(x) dx, m ≤ µ ≤ M .

b

b

b

b

− ∫ f ( x) g( x) dx = −µ∫g( x) dx (1).

a

a

(

)

(

)

. Тогда на [a, b] обязательно найдется хотя бы

на [a, b] . Пусть f ( x) C [a, b]

одна точка c такая, что будет

b

b

a

(

)

a

По условию

f ( x)

достигает в [a, b] своих наибольше-

f ( x) C [a, b]

го M и

наименьшего m значений

m ≤ f (x) ≤ M , x [a, b]. Так как

(

)

(

)

что выполнены все условия обоб-

f ( x) C [a, b] , то

f ( x) R [a, b] . Видим,

b

b

a

a

Было отмечено, что значения m и M функцией

f ( x) достигаются на [a, b] . Если

же

m < µ < M ,

то по

теореме о

промежуточном значении

для функции

(

)

заключаем: на промежутке [a, b] обязательно найдется хотя бы

f ( x) C [a, b]

одна

точка

c

такая,

что будет

f (c) = µ,

а значит, и в

этом случае

b

b

∫ f (x) g(x) dx = f (c)∫g(x) dx .

a

a

2

0

2

−2

−2

0

0

2

−t

2

3 x

3

dt

3 −x

∫x e

dx = −∫t e

= −∫x e

dx .

−2

0

0

2

2

Следовательно, J = ∫x3(ex −e−x ) dx = 2∫x3 sh x dx . Положим f ( x) = sh x ,

0

0

2

J = 2sh c∫x3dx = 8sh c > 0, 0 < c < 2 .

0

1

xndx

2. Доказать, что nlim→∞

∫

= 0 .

1+ x

0

Положим f ( x) =

1

,

g( x) = xn . Применяем обобщенную теорему об ин-

1

+ x

тегральном среднем значении функции. Получаем

1 xndx

1

1

n

1

xn+1

x=1

1

∫

=

∫x

dx =

=

, где 0 ≤ c ≤1,

1+ x

1+c

1+c

n +1

(n +1)(1+c)

0

0

x=0

откуда

1

1 xndx

1

xndx

1

≤ ∫

≤

nlim→∞ ∫

= 0 .

(n +1) 2

1+ x

n +1

1+ x

π 2

0

0

π

π−

ε

π

~ ~

2

2

2

2

Jn = ∫sinn x dx =

∫sinn x dx +

∫sinn

x dx = Jn + Jn .

0

10 4243

π

ε

2

−

2

~

14243

=Jn

~

=Jn

~

π

π

π