Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Кратные интегралы.doc
Скачиваний:
51
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
1.3 Mб
Скачать

43

Министерство образования Российской Федерации

Ставропольский институт управления

Кафедра математики и естественнонаучных дисциплин

Кратные интегралы

Ставрополь 2003

Составители: В.В. Черняев, А.Д. Жерновой, Р.В.Крон

ББК 22.1

К 77

Черняев В.В., Жерновой А.Д., Крон Р.В. Кратные интегралы: Учебно-методические рекомендации/ В.В. Черняев, А.Д. Жерновой, Р.В. Крон; Ставр., ин-т упр. – Ставрополь: СИУ, 2003. – 41с.

Учебно-методические рекомендации дополняют учебную программу по дисциплине математический анализ и содержит краткий справочный и пояснительный материал, и указания для решения задач по теме, содержит 250 задач, из которых составлены 25 вариантов заданий.

Рассмотрены теоретические основы и определения, геометрический смысл кратных интегралов. Главное внимание уделено вычислению площадей с помощью двойных интегралов, вычислению поверхностей, интегралов по поверхности, координат центра тяжести и моментов инерции поверхностей, вычислению объёмов с помощью тройных интегралов, вычислению координат центра тяжести и моментов инерции тел с помощью тройных интегралов. Даны общие методические рекомендации для решения задач.

Указания предназначены для углубленного самостоятельного изучения темы студентами технических и сельскохозяйственных вузов всех специальностей инженерных факультетов.

Ил.: 3 Библиогр.: 7 наз.

Рецензент: д. ф.-м. н., профессор Симоновский А.Я.

© Ставропольский институт управления

© В.В. Черняев, А.Д. Жерновой, Р.В. Крон.

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Кратные интегралы. Определения…………………………………………4

  2. Геометрический смысл кратных интегралов……………………………...6

  3. Вычисление площадей с помощью двойных интегралов………………..7

  4. Вычисление поверхностей, интегралов по поверхности, координат центра тяжести и момента инерции поверхностей………………………..9

  5. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов……………… ..13

  6. Вычисление координат центра тяжести и моментов инерции тел с помощью тройных интегралов…………………………………………...14

  7. Общие методические рекомендации для решения задач……………….16

  8. Задачи (25 вариантов)……………………………………………………..17

9. Литература………………………………………………………………….17

1. Кратные интегралы. Определения.

1.1.Чтобы дать определение двойного интеграла необходимы следующие понятия – понятие интегральной суммы, понятие диаметра области.

Введем понятие интегральной суммыдля функции двух переменныхf(x,y), заданной в ограниченной области (Р). При этом заданную функцию будем иногда называть функцией точки области (Р), отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писатьf(М) вместоf(x,y), еслиx,y– координаты точки М.

Далее, введем понятие диаметра области.Диаметром замкнутой области Рназывается наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (см. Рис.1.а).

Рис 1.а) Рис 2.б)

Например, диметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большей оси.

Пусть в квадратной области (Р) определена некоторая функция f (x, y). Разобьем область (Р) произвольным образом сетью кривых на конечное число частей (Р1), (Р2),…,(Рn), (Рi) (i = 1, 2, … n) (Рис. 1.б) площадь которых обозначим соответственно через . В каждой из областей (Рi) (i = 1, 2, …,n) возьмем произвольную точку () и составим сумму:

, (1.1)

которую будем называть интегральной суммой для функции f (xi,yi) в области (Р). Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей (Рi). Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область (Р), иногда называют рангом произвольного разбиения.

By def: Если интегральная сумма приимеет определенный конечный предел:

(1.2)

не зависящий ни от способа разбиения области (Р) на части, ни от выбора точек ( ) в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функцииf (x,y) по области (Р) и обозначается символом:

или (1.3)

Функция f (x,y в этом случае называется интегрируемой в области (Р).

Символ dP называют элементом площади. Если координаты прямоугольные, то элемент площади dP=dxdy. Такое представление dP напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры (Р) осуществить прямыми, прямоугольными координатным осям и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения Уточним понятие предела интегральной суммыт.е. предела (1.2). Здесь мы сталкиваемся с пределом того же типа, что при определении интеграла от функции одной переменной.

Будем говорить, что стремится к пределу., если каждомуотвечает такое, что для любого разбиения областина конечное число частей, лишь бы, и при любом выборе точекимеет место неравенство.

1.2. Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла и строится для функции трех переменных в трехмерной области.

Пусть в некоторой ограниченной трехмерной области задана функция. Разобьем областьсетью поверхностей наn произвольных частей ,, …,, объем которых соответственно обозначим через,, …,. В каждой частивозьмем произвольную точкувычислим значения функции в ней, и затем составим сумму:

, (1.4)

которая называется интегральной суммой для функции по области.

By def. Если существует конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех частичных областей, не зависящий ни от способа дробления областейна части, ни от выбора точекв области, то этот предел называется тройным интегралом функции, обозначаются символом:

или ,

а функция в этом случае называется интегрируемой в области.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

Соседние файлы в предмете Математический анализ