Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

+∞

sin2 t

1

+∞

dt

+∞

cos 2t

∫

p+1

dt =

2

∫

−

∫

1−

p+1

dt .

1−

1−

p+1

q

1

t

q

1

t

q

1

t

+∞

dt

p +1

+∞ cos 2t

Но

∫

расходится, если

0 ≤

<1,

а

∫

p+1

dt

сходится, если

p+1

q

1 t1−

1 t1−

q

q

p +1

+∞ sin2 t

0 ≤

<1 (по признаку Абеля – Дирихле). Значит, ∫

dt

расходится, ес-

q

p+1

1 t1−

q

ли 0 ≤

p +1

<1, а, следовательно,

J * расходится, если 0 ≤

p +1

<1. Получаем,

q

2

p +1

q

p +1

таким образом: J * сходится, если −1 <

< 0, и расходится, если 0 ≤

<1.

q

q

Окончательный вывод: несобственный интеграл J сходится абсолютно, если

−1 <

p +1

< 0, и сходится условно, если 0 ≤

p +1

<1.

q

q

+∞

x p sin x

* 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость J = ∫

dx

q

0

1+ x

( q > 0 ).

Здесь

f ( x) =

x p sin x

определена и непрерывна на промежутке [0, +∞) ,

1+ xq

1

x p sin x

+∞

x p sin x

двух интегралов J = J1 + J2 , где J1 = ∫

dx ,

J2 = ∫

dx .

1+ xq

1+ xq

0

1

1

x p sin x

Рассмотрим J1 = ∫

dx . Если p ≥ 0 , то

J1 – собственный интеграл;

1+ xq

0

J

1

– неотрицательная на промежутке (0,1]. Имеем

x p sin x

~ x p+1

=

1

;

1+ xq

x−( p+1)

x→+0

1

dx

∫

сходится и притом абсолютно, если −( p

+1) <1, т. е. если

p > −2 , и

x

−( p+1)

0

+∞

x p sin x

Рассмотрим теперь J2 = ∫

dx . J2 – несобственный интеграл I рода.

1+ xq

x p

~

1

~

Положим g(x) =

;

f ( x) = sin x . Замечаем, что:

1+ xq

1)

~

на

промежутке

[1; +∞)

ограниченную

первообразную

f ( x) имеет

~

= −cos x ;

F( x)

2)

~

имеет

на

промежутке

[1; +∞)

непрерывную

производную

g(x)

~

x p−1[p

−(q − p)xq

]

g ′(x)

=

;

+ xq )2

(1

~

31) если q − p > 0 , то g(x) монотонно убывающая (по крайней мере, начи-

ная с некоторого места, а именно, для тех x , для которых xq >

p

);

q − p

~

монотонно

возрастающая на

32) если q − p ≤ 0 , то g(x) положительная,

~

~

1

промежутке [1; +∞) и, следовательно, для x ≥1: g(x) ≥ g(1) =

2 .

Рассуждаем от противного. Допустим, что

J2 сходится. Но тогда любому

ε > 0 (в частности, ε

0

= 1 > 0 ) отвечает число

M > 0

(можно считать:

M >1),

2

такое, что как только B1 > M , B2 > M , так сейчас же

B2 ~

1

∫g( x)sin x dx

<

2

. Заме-

B1

такое, что будет 2nπ > M . Положим B1 = 2nπ,

B2 = 2nπ + π ( B2 > B1 > M ). Для

x [2nπ, 2nπ+ π] :

~

1

~

1

g(x) ≥

2 ; sin x ≥ 0 . Поэтому

g(x)sin x ≥

2 sin x

B2

~

2nπ+π

1

2nπ+π

~

∫sin x dx =1 (> ε0 ) .

∫g( x)sin x dx

=

∫g(x)sin x dx ≥ 2

B1

2nπ

2nπ

J2

Получено противоречие.

Значит,

предположение, что

сходится при

q − p ≤ 0 , неверно.

x p sin2 x

≤

x p

sin x

≤

x p

≤

x p

=

1

, x [1, +∞) .

1+ xq

1+ xq

xq

xq−p

Так как +∞

1+ xq

dx

сходится при q − p >1, то заключаем, что J2 – сходится абсо-

xq−p

∫

1

лютно при q − p >1 (т. е. при q > p +1). Имеем далее:

+∞ x p sin2 x

1

+∞

x p

1

+∞ x p cos 2x

∫1

dx

=

2

∫1

dx

− 2

∫1

dx .

1+ xq

1+ xq

1+ xq

1442443

1442443

~

~

~

J2

J2

Несобственный интеграл

сходится,

если

q − p >1,

и расходится,

если

J2

q − p ≤1.

~

Несобственный интеграл

сходится,

если

q − p > 0 ,

и расходится,

если

J2

q − p ≤ 0 .

q

q

q = p+1

q=p

p

p

−2

−2

Рис. 2.7. К примеру 4

Рис. 2.8. К примеру 4

Следовательно, J2 сходится абсолютно, если q > p +1. Получаем, таким об-

разом, что несобственный интеграл J сходится абсолютно в области, опреде-

ляемой неравенствами q > 0 , p > −2 , q > p +1 (рис. 2.7).

Область условной сходимости несобственного интеграла J получается, ес-

ли из области сходимости J удалить область его абсолютной сходимости. Об-

ласть условной сходимости несобственного интеграла J определяется неравен-

ствами q > 0 , p <q ≤ p +1 (рис. 2.8).

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

§1. Вычисление площадей плоских фигур

y

1°.

Некоторые

предварительные

сведения.

Пусть (D ) – область, расположенная в плоскости

(P )

(x, y) и ограниченная контуром (K ) . Заключим (D )

(K )

в прямоугольник (P ) , стороны которого параллель-

(D )

ны координатным осям. Произвольной сетью пря-

мых, параллельных координатным осям, разложим

x

(P ) на

частичные

прямоугольники (Pik ) ( i =1, n ,

Рис. 3.1. Сетка прямых

k =1, m ) (рис. 3.1). Обозначим через λik

длину диа-

гонали частичного прямоугольника (Pik ) , а через λ –

для определения площади

фигуры

наибольшую из длин диагоналей этих частичных

прямоугольников.

Произведенному разбиению (P ) соотнесем два числа A и B.

A – сумма площадей всех тех частичных прямоугольников (Pik ) , которые

целиком содержатся в (D). (Они не имеют ни одной общей точки с (K ) ).

B – сумма площадей всех тех частичных прямоугольников (Pik ) , которые

имеют хотя бы одну общую точку с (D ) .

Ясно, что B = A +Q ,

где Q –

сумма площадей всех тех частичных прямо-

угольников (Pik ) , которые имеют хотя бы одну общую точку с (K ) . Следует

отметить, что для закрепленного способа разбиения (P ) A и B – определенные

числа. Если же способ разбиения (P ) на части изменить, то изменятся, вообще

говоря, и числа A, B.

lim (B − A) = 0

(1)

λ→0

щадь многоугольника, содержащегося в (D), а всякая сумма B из

{ }

есть

B

площадь многоугольника, содержащего (

) .

D

Возьмем на множестве

{

}

произвольную сумму B и закрепим ее. Обозна-

B

чим эту сумму через B0 . Тогда для всякой суммы A из {A}

будет

A ≤ B0

{ }

множество

A

сумм A,

отвечающих всевозможным способам разбиения (

P

)

{

}

{ }

на части, ограничено сверху. Значит, существует sup

A . Положим S = sup

A .

Ясно, что S ≤ B0

(ибо B0

– верхняя граница, а S – точная верхняя граница мно-

жества {A}). У нас B0 – любая из множества {B}. Следовательно,

S ≤ B , для

любой B

{

}

{ }

{ }

B . Так как S = sup

A , то A ≤ S , для любой A

A . Таким обра-

зом, получаем

A ≤ S ≤ B .

(2)

Если ωk есть колебание

f ( x)

на [xk , xk+1], то y

сумма высот

этих

частичных

прямоугольников

меньше

ε

ωk +2λ .

Но

ωk <

,

ибо

3(b −a)

ωk

xk+1 − xk

~

(L )

k = 0, n −1.

≤ λ < λ < δ,

Кроме

того,

λ < δ <

ε

. Значит, сумма высот упомянутых

3(b −a)

x

частичных прямоугольников меньше

xk xk +1

ε

+2

ε

=

ε

.

Рис. 3.3. К доказательству

3(b −a)

3(b −a)

b −a

теоремы 2

Поэтому сумма их площадей будет меньше, чем

ε

(xk+1 − xk ) , следовательно,

b −a

n−1

ε

ε

Q < ∑

(xk+1 − xk ) =

(b −a) = ε.

b −a

b −a

k=0

2°. Площадь в прямоугольных коорди-

y

y = f (x )

(

)

натах.

Пусть

функция

f (x) C [a, b]

и

f (x) ≥ 0 , x [a, b],

( a < b ).

Фигура,

ограни-

ченная снизу осью Ox, сверху графиком

функции

y = f (x) ,

x [a, b], а с боков отрез-

ками прямых x = a ,

x = b , называется криво-

линейной трапецией.

Видим, что контур (K ) является простой

x

кривой.

Следовательно, криволинейная

тра-

a=x0

xk xk +1 x =b

пеция квадрируема. Выведем теперь формулу

n

Рис. 3.4. К определению площади

для площади S этой криволинейной трапеции.

криволинейной трапеции

Для этого:

a = x0 < x1 <K< xn = b

произ-

1) точками

n−1

n−1

∑mk ∆xk ≤ S ≤ ∑Mk ∆xk .

(4)

k =0

k=0

n−1

n−1

В этом неравенстве суммы ∑mk ∆xk , ∑Mk ∆xk , являясь нижней и верхней

k =0

k =0

b

S = ∫ f ( x) dx .

(5)

y

a

Площадь обобщенной

криволинейной

y = f2

(x )

C

трапеции.

Рассмотрим теперь плоскую фи-

B

гуру,

ограниченную снизу графиком функ-

ции

y = f1(x) ,

x [a, b], сверху

графиком

A

D

функции

y = f2 ( x), x [a, b],

а с боков от-

y = f1( x )

резками

прямых

x = a , x = b

( a < b )

(рис.

3.6). Предполагается, что

1

(

)

M

N x

f ( x) C [a, b] ,

f

2

(x)

(

)

1

f

2

(x) ,

x [a, b].

a

C [a, b]

и f (x) ≤

b

Площадь S у такой фигуры существует, так

Рис. 3.6. Обобщенная

как контур

(K )

этой фигуры является про-

стым.

криволинейная трапеция

Предположим сначала, что выполнено

еще одно условие, а именно, что f1(x) ≥ 0 ,

x [a, b]. Имеем:

b

b

SABCD = S MBCN − S MADN = ∫ f2 ( x) dx − ∫ f1( x) dx

a

a

b

SABCD = ∫[f2 ( x) − f1(x)]dx .

(6)