- •Лабораторная работа 1. Исследование методов одномерного поиска минимума унимодальных функций
- •Требования задания
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Лабораторная работа 2. Исследование методов полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций
- •Требования задания
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •3.1 Требования задания
- •3.2 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3. Исследование методов линейного поиска
- •3.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 4. Исследование градиентных методов
- •4.1 Требования задания
- •4.2 Контрольные вопросы
- •4.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 5. Проектирование программы оптимизации
- •5.1 Требования задания
- •5.2 Контрольные вопросы
- •5.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 6. Исследование модификаций ньютоновских оптимизационных процессов
- •6.1 Требования задания
- •6.2 Контрольные вопросы
- •6.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 7. Исследование методов безусловной оптимизации первого порядка
- •7.1 Требования задания
- •7.2 Контрольные вопросы
- •7.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 8. Исследование методов безусловной оптимизации нулевого порядка
- •8.1 Требования задания
- •8.2 Контрольные вопросы
- •8.3 Содержание отчета
- •Лабораторная работа 9. Исследование алгоритмов случайного поиска
- •9.1 Требования задания
- •9.2 Контрольные вопросы
- •8.3 Содержание отчета
- •Приложения Приложение 1. Метод средней точки (метод Больцано)
- •Приложение 2. Метод трехточечного поиска на равных интервалах
- •Приложение 3. Метод Ньютона
- •Приложение 4. Метод линейной интерполяции (метод секущих)
- •Приложение 5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации
- •Приложение 6. Метод Фибоначчи
- •Приложение 7. Метод Зангвилла
- •Приложение 8. Алгоритм lPт поиска
- •Приложение 9. Минимизация целевых функций в Microsoft Ecxel 8.0
- •Приложение 10. Тестовые функции
- •Список рекомендуемой литературы
Лабораторная работа 7. Исследование методов безусловной оптимизации первого порядка
7.1 Требования задания
Целью работы является изучение методов сопряженных градиентов и методов с переменной метрикой, а также исследование влияния на решение оптимизационной задачи двух способов описания производных - численного и аналитического.
Методы многомерной оптимизации:
М1 - метод Даниела;
М2 - метод Флетчера - Ривса;
М3 - метод Полака - Рибьера;
М4 - метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла;
М5 - метод Бройдена - Флетчера - Шенно;
М6 - метод Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шенно.
Таблица тестовых функций
№ |
Функция y(x) |
Начальная точка (x1) t |
Значение минимума (x*)t |
(27) |
-12x2 + 4x12+ 4x22 - 4x1x2 |
( 1 ; 0 ) |
( 1 ; 2) |
(28) |
(x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2 |
( 0 ; 3 ) |
( 2 ; 1) |
(29) |
(x1x2x3 - 1)2 + 5[x3(x1 + x2) - 2]2 + 2(x1 + x2 + x3 -3)2 |
( -5 ; 4 ; 2 ) |
( 1 ; 1 ; 1) |
(30) |
4x12 + 3x22 - 4x1x22 + x1 |
( 0 ; 0 ) |
( -1/8 ; ‑3/80000000) |
(31) |
(x12 + x2 - 11)2 + (x1 + x22 - 7)2 |
( 0 ; 0 ) |
( 3 ; 2) |
(32) |
100(x2 - x13)2 + (1 – x1)2 |
( -1.2 ; 1) |
( 1 ; 1) |
(33) |
[1.5-x1(1-x2)]2 + [2.25-x1(1-x22)]2 + [2.625-x1(1-x23)]2 |
( 0 ; 0) |
( 3 ; 0.5) |
(34) |
(x1 + 10x2)2 + 5(x3 - x4)2 + (x2 - 2x3)4 + 10(x1 - x4)4 (матрица Гессе в точке х* сингулярна) |
(-3 ;-1;0;1) |
( 0 ; 0 ; 0 ;0 ) |
(35) |
100(x2 -x12)2 + (1-x1)2 + 90(x4-x32)2 + (1-x3)3 + 10.1[(x2-1)2+(x4-1)2]+19.8(x2-1)(x4-1) (функция имеет несколько локальных минимумов) |
(-3;-1;-3;-1) |
( 1 ; 1 ; 1; 1 ) |
Варианты задания
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Метод |
М1 |
М2 |
М3 |
М4 |
М5 |
М6 |
М2 |
М4 |
Тестовая функция |
(21) (24) |
(22) (28) |
(26) (33) |
(27) (32) |
(23) (34) |
(21) (28), (34) |
(19) (29) |
(21) (29) |
7.2 Контрольные вопросы
1. Выполните два шага аналитического решения задачи Вашего варианта задания.
2. Определить характер матрицы Гессе функции y(x) = (x2-x1)2 + (1-x1)2 в точке минимума x* = (1,1)t. Используя матрицу Гессе найти направление, сопряженное к p = (1,0)t.
3. Сравните методы переменной метрики по направлениям поиска.
4. Являются ли направления p1 = (0,1)t и p2 = (1,0)t линейно независимыми? Ортогональными? Сопряженными?
5. Дана функция y(x) = x12 + x22 + x32 и точка xk = (1,2,3)t. Определите точку xk+1 методом Дэниела.
6. Используя метод сопряженных градиентов, найти точку xk+1 для функции y(x) = x12 + 2x1x2 + x22 и xk = (1,1,1)t.