Лабораторная работа 7. Исследование методов безусловной оптимизации первого порядка

7.1 Требования задания

Целью работы является изучение методов сопряженных градиентов и методов с переменной метрикой, а также исследование влияния на решение оптимизационной задачи двух способов описания производных - численного и аналитического.

Методы многомерной оптимизации:

М1 - метод Даниела;

М2 - метод Флетчера - Ривса;

М3 - метод Полака - Рибьера;

М4 - метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла;

М5 - метод Бройдена - Флетчера - Шенно;

М6 - метод Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шенно.

Таблица тестовых функций

№	Функция y(x)	Начальная точка (x1) t	Значение минимума (x*)t
(27)	-12x2+ 4x12+ 4x22- 4x1x2	( 1 ; 0 )	( 1 ; 2)
(28)	(x1- 2)4+ (x1- 2x2)2	( 0 ; 3 )	( 2 ; 1)
(29)	(x1x2x3- 1)2+ 5[x3(x1+x2) - 2]2+ 2(x1+x2+x3-3)2	( -5 ; 4 ; 2 )	( 1 ; 1 ; 1)
(30)	4x12+ 3x22- 4x1x22+x1	( 0 ; 0 )	( -1/8 ; ‑3/80000000)
(31)	(x12+x2- 11)2+ (x1+x22- 7)2	( 0 ; 0 )	( 3 ; 2)
(32)	100(x2-x13)2+ (1 –x1)2	( -1.2 ; 1)	( 1 ; 1)
(33)	[1.5-x1(1-x2)]2+ [2.25-x1(1-x22)]2+ [2.625-x1(1-x23)]2	( 0 ; 0)	( 3 ; 0.5)
(34)	(x1+ 10x2)2+ 5(x3-x4)2+ (x2- 2x3)4+ 10(x1-x4)4 (матрица Гессе в точке х* сингулярна)	(-3 ;-1;0;1)	( 0 ; 0 ; 0 ;0 )
(35)	100(x2 -x12)2 + (1-x1)2 + 90(x4-x32)2 + (1-x3)3 + 10.1[(x2-1)2+(x4-1)2]+19.8(x2-1)(x4-1) (функция имеет несколько локальных минимумов)	(-3;-1;-3;-1)	( 1 ; 1 ; 1; 1 )

Варианты задания

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8
Метод	М1	М2	М3	М4	М5	М6	М2	М4
Тестовая функция	(21) (24)	(22) (28)	(26) (33)	(27) (32)	(23) (34)	(21) (28), (34)	(19) (29)	(21) (29)

7.2 Контрольные вопросы

1. Выполните два шага аналитического решения задачи Вашего варианта задания.

2. Определить характер матрицы Гессе функции y(x) = (x₂-x₁)²+ (1-x₁)²в точке минимумаx* = (1,1)^t. Используя матрицу Гессе найти направление, сопряженное кp= (1,0)^t.

3. Сравните методы переменной метрики по направлениям поиска.

4. Являются ли направления p¹= (0,1)^tиp²= (1,0)^tлинейно независимыми? Ортогональными? Сопряженными?

5. Дана функция y(x) =x₁²+x₂²+x₃²и точкаx^k= (1,2,3)^t. Определите точкуx^k+1 методом Дэниела.

6. Используя метод сопряженных градиентов, найти точку x^k+1для функцииy(x) =x₁²+ 2x₁x₂+x₂²иx^k = (1,1,1)^t.

7.3 Содержание отчета

1. Цель работы и требования задания.

2. Краткое описание метода оптимизации на основании материала лекционного курса и описание схемы пошагового выполнения вычислительного алгоритма.

3. Блок-схема программы с пояснением основных ее частей.

4. Спецификация программы, раскрывающая смысл входных и выходных данных, основных переменных и функций.

5. Текст программы с детальными комментариями ведущих операторов программы.

6. Результаты тестирования программы на наборе целевых функций с указанием числа итераций и числа вычислений функций. Таблица, иллюстрирующая вычислительный процесс и изменение ключевых переменных.

7. Результаты сравнения по числу итераций заданных методов оптимизации при использовании различных критериев окончания поиска, при выборе разных начальных точек x¹и при задании различных значений погрешности локализации минимума.

8. Ответы на контрольные вопросы.

9. Выводы по работе.