Лабораторная работа 3. Исследование методов линейного поиска

3.1 Требования задания

Целью работы является разработка программы, реализующей процедуру минимизации функции многих переменных в заданном направлении;

Методы линейного поиска:

М1 - метод золотого сечения-2 - Дэвидона;

М2 - метод золотого сечения-1 - Пауэлла;

М3 - метод Больцано - Дэвидона;

М4 - метод Фибоначчи-1 - Дэвидона;

М5 - метод Фибоначчи-2 - Пауэлла;

М6 - метод Больцано - ДСК;

М7 - метод дихотомии - ДСК;

М8 - метод ДСК - Дэвидона.

Таблица тестовых функций

№	Функция y(x)	Начальная точка (x1) t	Направление поиска p t	Значение минимума (x*)t
(10)	x12 + 3x22 + 2x1x2	( 1 ; 1)	( 2 ; 3)	( 0.2558 ; -0.1163)
(11)	100(x2 - x12)2 + (1 - x1)2	( -1 ; 0)	( 5 ; 1)	( -0.3413; 0.13172)
(12)	-12x2 + 4x12 + 4x22 - 4x1x2	( -0.5 ; 1)	( 1 ; 0)	( 0.5 ; 1)
(13)	(x1 -2)4 + (x1 – 2x2)2	( 0 ; 3)	( 1 ; 0)	( 3.13 ; 3.00)
(14)	4(x1 - 5)2 + (x2 – 6)2	( 8 ; 9)	( 1 ; 0)	( 5 ; 9)
(15)	(x1- 2 )4 + (x1 – 2x2)2	( 0 ; 3)	( 44 ;-24 1)	( 2.7 ; 1.51)
(16)	2x13 + 4x1x23 – 10x1x2 + x22	( 5 ; 2)	( 0 ; 1)	( 5; 0.896356)
(17)	8x12 + 4x1x2 + 5x22	( 10 ; 16)	grad(x1)t	( -2.938; 4.4479)
(18)	4(x1 – 5)2 + (x2 – 6)2	( 8 ; 9)	( 1 ; 0)	( 7.95 ; 9)

Варианты задания

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8
Метод	М1	М2	М3	М4	М5	М6	М7	М8
Тестовая функция	(10)	(11)	(12)	(13)	(14)	(15)	(16)	(17)

3.2 Контрольные вопросы

1. Поясните организацию линейного поиска на основе методов золотого сечения, Фибоначчи и Пауэлла.

2. Найти производную в точке x¹=(1,0)^t по направлению p¹=(1,1)^t для функции f(x) = x₁² - x₁x₂ + 2x₂² - 2x₁.

3. Как изменится процедура минимизации методами Больцано, дихотомии, ДСК, Дэвидона при переходе от поиска на числовой прямой к поиску на плоскости R²?

4. Что является направлением наискорейшего спуска в точке x = (1,1)^t для целевой функции y(x) = x₁² + 2x₂²

5. Приведите 2 способа аналитического решения задачи для Вашего варианта задания.

6. Найдите минимум y(x) = x₁² - x₁x₂ + 2x₂² - 2x₁ + e^x1+x2, двигаясь из точки x = (0,0) в направлении наискорейшего спуска.

7. Найти шаг a1, доставляющий минимум в точку x₂ = x₁ + a₁p для функции y(x)= x₁² + 2x₂² и направления антиградиента в точке x₁ =(1,0)^t.