Подготовка к очередному уроку.

Система планирования урока:

1. Годовое или полугодовое планирование.

2. Тематическое планирование.

3. Поурочное планирование.

Схема тематического планирования:

1. Название темы.

1. Общая дидактическая цель системы уроков по теме.

2. Тип урока.

3. Общие методы обучения.

4. Оборудование и основные источники информации.

1. Актуализация знаний:

1. Опорные знания и способы действий.

2. Источники повторения.

3. Типы самостоятельных работ.

1. Формирование новых понятий и способов действий:

1. Новые понятия и способы действий.

2. Основные проблемы и типы самостоятельных работ.

1. Применение (формирование умений и навыков):

1. Типы самостоятельных работ.

2. Межпредметные связи.

Основные методические требования к составлению плана урока:

1. Сформулировать тему урока.

2. Определить цели урока: дидактические, развивающие и воспитательные.

3. Определить структуру урока и конкретную задачу каждого этапа урока.

4. Отобрать учебный материал в соответствии с целью и задачами отдельных этапов урока.

5. Определить методы и приемы работы учащихся.

6. Определить приемы руководства учителем деятельностью учащихся.

7. Выбрать средства обучения (учебник, дидактические материалы, наглядные пособия и т.д.).

8. Определить форму и содержание материалов для проверки усвоения материала, рассмотренного на уроке.

9. Продумать инструктаж к выполнению домашнего задания и форму подведения итогов урока.

Схема поурочного плана:

1. Тема урока: ...

2. Цель урока: ...

3. Тип урока: ...

4. Методы обучения: ...

5. Оборудование урока: ...

6. Структура урока: ...

7. Ход урока: ...

Анализ урока – оценка всех возможных сторон учебно-воспитательного процесса на уроке.

Цель анализа урока – выявление методов и приемов организации деятельности учителя и учащихся на уроке, которые приводят или не приводят к позитивным результатам.

Основная задача – поиск резервов повышения эффективности работы учителя и учащихся.

Основные положения анализа:

1. Общеобразовательное учреждение, класс, предмет, ФИО учителя, количество учащихся по списку, из них сколько присутствовало на уроке.

2. Тема урока, образовательные, развивающие, воспитательные цели урока.

3. Организационное начало урока.

4. Организационная структура урока.

5. Анализ содержания учебного материала.

6. Общепедагогические и дидактические требования к уроку.

7. Деятельность учителя.

8. Деятельность учащихся.

9. Выводы.

Примерная схема анализа урока:

1. Какие образовательные, развивающие и воспитательные цели достигались на уроке? Какие из них были главные и почему? Какова их взаимосвязь?

2. Какова специфика урока? Каков его тип? Каково место данного урока в теме, разделе, курсе?

3. Как учитывались возможности учащихся при планировании урока?

4. Рациональны ли выбранная структура урока и распределение времени на отдельные этапы урока?

5. На каком материале или этапе урока делается главный акцент?

6. Каково обоснование выбора методов обучения и их сочетания?

7. Как отбирались для урока средства обучения?

8. Почему был необходим дифференцированный подход к обучению на уроке? Как он был реализован?

9. Чем обоснованы выбранные формы проверки и контроля знаний учащихся?

10. За счет чего обеспечивалась работоспособность учащихся в течение всего урока?

11. Каким образом предупреждались перегрузки учащихся?

12. Достигнуты ли поставленные цели и почему? Какие изменения необходимы при подготовке и проведении такого урока?

Типы анализа урока:

• комплексный;

• структурный;

• краткий;

• аспектный;

• самоанализ.

Комплексный анализ – это всесторонний анализ, позволяющий рассматривать в единстве и во взаимосвязи основные характеристики урока – цели, содержание обучения, средства и методы обучения, организацию деятельности на уроке и основные структурные элементы урока.

Структурный анализ – анализ структуры урока, обоснованности и необходимости выбора определенного этапа урока в целях реализации основной цели урока, полезности и значимости каждого этапа урока в общей структуре урока.

Краткий анализ – анализ работы всех компонентов урока на реализацию основной цели урока, соответствие формы, средств, содержания урока, цели урока.

Аспектный анализ – анализ по одному конкретному направлению, основанию, аспекту; анализ отдельных элементов урока.

Самоанализ урока – анализ урока самим учителем в целях построения целостной системы обучения и достижения оптимального результата обучения в оптимальных условиях.

Проверка и оценка знаний учащихся на уроках математики

Основная цель – определение качества усвоения учащимися программного материала, диагностирование и корректирование их знаний и умений, воспитание ответственности к учебной работе.

Функции проверки: контролирующая; обучающая; диагностическая; прогностическая; развивающая; ориентирующая; воспитывающая.

Контролирующая функция проверки заключается в выявлении состояния знаний и умений учащихся, уровня их умственного развития, в изучении степени усвоения приемов познавательной деятельности, навыков рационального учебного труда.

Обучающая функция проверки заключается в совершенствовании знаний и умений, их систематизации.

Диагностическая функция проверки состоит в получении информации об ошибках, недочетах и пробелах в знаниях и умениях учащихся и порождающих их причинах.

Прогностическая функция проверки служит получению опережающей информации об учебно-воспитательном процессе.

Развивающая функция проверки состоит в стимулировании познавательной активности учащихся, в развитии их творческих сил и способностей.

Ориентирующая функция проверки заключается в получении информации о степени достижения цели обучения отдельным учеником и классом в целом – насколько усвоен и как глубоко изучен учебный материал.

Воспитывающая функция проверки заключается в воспитании у учащихся ответственного отношения к учению, дисциплины, аккуратности, честности.

Принципы проверки:

• Целенаправленность.

• Объективность.

• Всесторонность.

• Регулярность.

• Индивидуальность.

Целенаправленность предполагает четкое определение цели каждой проверки.

Объективность проверки предупреждает случаи субъективных и ошибочных суждений, искажающих действительную успеваемость учащихся и снижающих воспитательное значение проверки.

Под всесторонностью проверки понимается охват большого по содержанию проверяемого материала: это и усвоение основных идей данного курса, и усвоение учебного материала по определенным содержательным, стержневым линиям курса, и знание учащимися отдельных и существенных фактов, понятий, закономерностей, теорем, способов действий и способов деятельности.

Под регулярностью подразумевается систематическая проверка, органически сочетающаяся с самим учебным процессом.

Индивидуальность проверки требует проверки и оценки знаний, умений и навыков каждого ученика.

Формы проверки и контроля:

• индивидуальная;

• групповая;

• фронтальная.

Типы проверки и контроля:

• внешний (осуществляется учителем над деятельностью ученика);

• взаимный (осуществляется учеником над деятельностью одноклассника);

• самоконтроль (осуществляется учеником за собственной деятельностью).

Виды проверки и контроля:

• текущий (проводится в течение всего обучения, на каждом уроке);

• тематический (выясняет усвоение учащимися основных положений темы);

• итоговый (проверяются знания по важнейшим разделам и темам курса или курсу в целом).

Методы проверки:

• устная проверка;

• проверка письменных работ;

• проверка практических работ.

Средства контроля:

• вопросы, задачи;

• задания для контролирующих работ;

• тесты.

Контрольная работа – одна из форм проверки и оценки усвоенных знаний, получения информации о характере познавательной деятельности, уровне самостоятельности и активности учащихся в учебном процессе, об эффективности методов, форм и способов учебной деятельности.

Виды контрольных работ: классные и домашние, текущие и экзаменационные, письменные, графические, практические; фронтальные и индивидуальные.

Самостоятельная работа учащихся – индивидуальная или коллективная учебная деятельность, осуществляемая без непосредственного руководства учителя. С точки зрения организации самостоятельная работа может быть фронтальной (общеклассной) – учащиеся выполняют одно и то же задание; групповой – для выполнения учебного задания учащиеся разбиваются на небольшие группы (по 3-6 чел.); парной; индивидуальной – каждый школьник выполняет отдельное задание.

Виды самостоятельной работы: работа с учебником, справочной литературой или первоисточниками, решение задач, выполнение упражнений, наблюдения, лабораторные занятия, конструирование, моделирование и т. д.

Домашние задания – форма самостоятельной работы учащихся, организуются учителем с целью закрепления и углубления знаний, полученных на уроке, а также для подготовки к восприятию нового учебного материала, а иногда и для самостоятельного решения посильной познавательной задачи; составная часть процесса обучения.

Контроль за домашней работой ученика предполагает не только проверку правильности выполнения домашнего задания, но и является одним из эффективных средств формирования ответственного отношения к учению, особенно, если в проверке домашнего задания участвует весь класс. При этом важно применять формы взаимоконтроля. Отличительная черта контроля за выполнением домашнего задания – органичное соединение объяснения нового с результатами проверки домашней работы, что способствует экономии времени, активизирует процесс обучения. Осуществляется также косвенный контроль, когда учащимся для самостоятельного выполнения на уроке предлагаются задания, аналогичные домашним.

Для развития методов самостоятельной работы учащихся учителю необходимо интересоваться, какими приёмами пользовался ученик при выполнении домашней работы, и обсуждать наиболее рациональные способы работы.

Тесты (англ, lest – испытание, проба) – стандартизированные задания, предназначенные для измерения в сопоставимых величинах индивидуально-психологических свойств личности, а также знаний, умений и навыков.

Тесты для проверки знаний, умений и навыков по математике делятся на два вида:

• тесты на припоминание и дополнение;

• избирательные тесты.

Тесты на припоминание и дополнение представляют собой задания учащимся заполнить пропуски в предложенном им связном тексте (например, тетрадь с печатной основой).

Избирательные тесты делятся на:

• альтернативные;

• тесты перекрестного выбора;

• тесты множественного выбора.

Альтернативный тест – это задание, выполнив которое ученик из двух предложенных ему ответов должен выбрать один.

Тест перекрестного выбора представляет собой несколько заданий, после выполнения которых ученик устанавливает соответствие полученных им результатов предполагаемым результатам, записанным в произвольном порядке.

Тест множественного выбора состоит из задания и списка ответов, один из которых правильный.

Внеклассная работа по математике

Внеклассная работа по математике – необязательные систематические занятия учащихся с учителем.

Основные цели:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

4. Воспитание высокой культуры математического мышления.

5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в науке и технике.

7. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

8. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего класса.

Формы внеклассной работы:

• математический кружок;

• декада или неделя математики;

• математические вечера, утренники;

• различные викторины, конкурсы;

• школьные олимпиады;

• школьная и классная математическая печать;

• клубы веселых математиков;

• математические экскурсии и киноэкскурсии;

• внеклассное чтение научно-популярной математической литературы;

• школьные научные конференции;

• подготовка учащимися докладов, рефератов по математике, ее истории и приложениям;

• изготовление математических моделей;

• летние задания по математике.

Дополнительные внеклассные занятия – занятия с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала.

Основная цель – предупреждение и своевременная ликвидация имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.

Методические рекомендации по проведению дополнительных внеклассных занятий:

1. Целесообразно проводить такие занятия в малых группах из 3-4 учащихся однородного состава с точки зрения обученности и способностей.

2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия.

3. Проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

5. Занятия должны носить обучающий характер, при проведении занятий полезно использовать дидактические материалы.

6. Постоянно анализировать типичные ошибки учащихся, вести тематический учет знаний учащихся.

Вопросы и задания:

1. Охарактеризуйте основные организационные формы обучения.

2. Назовите и охарактеризуйте компоненты урока.

3. Каким должен быть современный урок? Какие требования предъявляются к нему?

4. Какие типологии уроков существуют? Перечислите основные типы урока математики и расскажите о каждом из них.

5. В чем заключается система подготовки учителя к уроку? Составьте тематический план системы уроков по конкретной теме.

6. Разработайте поурочный план-конспект урока математики по заданной теме.

1. Какую роль в работе учителя математики играет анализ и самоанализ урока? Посетите урок математики в школе и составьте анализ урока.

2. Что представляет собой тестовая форма проверки и оценки знаний учащихся? Раскройте методику проведения тестирования по математике.

3. Разработайте занятие математического кружка в 5-6 классах.

Литература

1. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.

2. Зильберберг, Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение. – М.: Просвещение, 1995.

3. Зотов, Ю.Б. Организация современного урока. – М.: Просвещение, 1984.

4. Карп, А.П. Даю уроки математики… – М.: Просвещение, 1992.

5. Манвелов, С.Г. Конструирование современного урока математики: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2005. – 175 с.

6. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Сост. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1975. – 368с.

7. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

8. Рыжик, В.И. 25000 уроков математики. – М.: Просвещение, 1993.

9. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. – М., 2002.

10. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.

§5. Основные средства обучения математике

В процессе обучения математике используются разнообразные средства обучения. Они должны составлять единый комплекс, основой которого является учебник математики. Все остальные средства обучения, предназначенные для лучшего усвоения школьного курса математики, должны быть тесно связаны с учебником, разъяснять и развивать идеи учебника, служить общим целям формирования у учащихся прочных математических знаний, умений и навыков. Рассмотрим основные средства обучения математике, их основные определения:

Средства обучения – разнообразнейшие материалы и орудия учебного процесса, благодаря использованию которых более успешно и за рационально сокращенное время достигаются поставленные цели обучения.

Дидактическое назначение средств обучения – ускорить процесс усвоения учебного материала, т.е. приблизить учебный процесс к наиболее эффективным характеристикам.

Основные средства обучения математике:

• учебник математики;

• дидактические материалы;

• справочная и другая математическая литература для школьников;

• наглядные средства обучения;

• технические средства обучения;

• компьютерные средства обучения.

Учебник математики – книга, излагающая основы научных знаний по математике в соответствии с целями обучения, определенными программой и требованиями дидактики.

Требования к учебнику математики:

1. Учебник математики должен содействовать формированию диалектико-материалистического мировоззрения, развитию логического мышления.

2. Давать систематическое, научно обоснованное, доступное для учащихся данного возраста изложение основных теоретических сведений по математике.

3. Включать достаточное количество разнообразных задач и упражнений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последовательности.

Методические приемы работы с учебником математики:

1. Чтение правил, определений, формулировок теорем после объяснения учителя.

2. Чтение других текстов после их объяснений учителем.

3. Разбор примеров учебника после их объяснений учителем.

4. Чтение вслух учебника учителем с выделением главного и существенного.

5. Чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы.

6. Чтение пункта учебника и ответы на вопросы учителя.

7. Чтение текста учебника, самостоятельное составление плана и ответ учащихся по составленному плану.

Дидактические материалы – дополнение к системе задач, предложенной в учебнике математики.

Назначение дидактических материалов:

• для помощи учителю математики в организации самостоятельного решения задач и выполнения упражнений учащимися по курсу математики;

• для использования учителями для проведения фронтального коллективного решения задач на уроке, при опросе учащихся, в качестве дополнительных заданий быстро решающим задачи учащимся;

• для организации индивидуальной работы с учащимися при их самостоятельном решении математических задач;

• для организации и проведения контрольных работ по темам курса и обзорных контрольных работ.

Наглядные средства обучения – средства обучения, реализующие принцип наглядности.

Виды наглядности:

• натуральная наглядность;

• изобразительная наглядность;

• символическая наглядность.

Основные средства наглядности: таблицы, видеофильмы, магнитная доска, тетрадь с печатной основой, объемные модели геометрических фигур, стереометрический набор и т.д.

Технические средства обучения – системы, комплексы, устройства и аппаратура, применяемые для предъявления и обработки информации в процессе обучения с целью повышения его эффективности.

Основные виды ТСО: радиовещание, учебное кино и учебное телевидение, статическая диапроекция (диаскоп, эпидиаскоп), лингафонное оборудование, компьютерные средства.

Дидактические особенности ТСО:

а) информационная насыщенность;

б) возможность преодолевать существующие временные и пространственные границы;

в) возможность глубокого проникновения в сущность изучаемых явлений и процессов;

г) показ изучаемых явлений в развитии, динамике;

д) реальность отображения действительности;

е) выразительность, богатство изобразительных приемов, эмоциональная насыщенность.

Компьютерные средства обучения – программные средства (программный комплекс) или программно-технический комплекс, предназначенный для решения определенных педагогических задач, имеющий предметное содержание и ориентированный на взаимодействие с обучаемым.

Классификация компьютерных средств обучения по решаемым педагогическим задачам:

1) Средства теоретической и технологической подготовки:

• компьютерные учебники;

• компьютерные обучающие системы;

• компьютерные системы контроля знаний.

2) Средства практической подготовки:

• компьютерные задачники;

• компьютерные тренажеры.

3) Вспомогательные средства:

• компьютерные лабораторные практикумы;

• компьютерные справочники;

• мультимедийные учебные занятия.

4) Комплексные средства:

• компьютерные учебные курсы;

• компьютерные восстановительные курсы.

Вопросы и задания:

1. Какую роль играют средства обучения в учебном процессе? Какие средства обучения применяются на уроках математики?

2. Охарактеризуйте методы работы с учебником математики. Приведите примеры.

3. Актуализируйте знания о принципе наглядности при обучении, раскройте функции наглядности и правила подбора.

4. Охарактеризуйте основные методические требования, предъявляемые к рабочим и справочным таблицам, к демонстрационным моделям и рисункам. Какова методика их использования?

5. Охарактеризуйте виды компьютерных средств обучения.

6. Сформулируйте основные требования к современному кабинету математики и охарактеризуйте его роль в интенсификации учебного процесса.

7. Разработайте дидактический материал для изучения новой темы (по любой теме школьного курса математики).

Литература

1. Дудницын, Ю.П. Урок математики: применение наглядных пособий и технических средств обучения. – М.: Высшая школа, 1987.

2. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Сост. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1975. – 368 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

4. Оборудование кабинета математики: пособие для учителей / В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, Э.Ю. Красс, Г.Г. Левитас. – М.: Просвещение, 1981.

5. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. – М., 2002.

6. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176 с.

§6. Педагогический эксперимент, его роль и основные задачи

Педагогический эксперимент:

• метод исследования, который используется с целью выяснения эффективности применения отдельных методов и средств обучения и воспитания;

• это своеобразный комплекс методов исследования, предназначенный для объективной и доказательной проверки достоверности педагогических гипотез.

Цели педагогического эксперимента – изучение причинно-следствен-ных связей в педагогических явлениях, которая предполагает:

• опытное моделирование педагогического явления и условий его протекания;

• активное воздействие исследователя на педагогическое явление;

• измерение результатов педагогического воздействия и взаимодействия, неоднократную воспроизводимость педагогических явлений и процессов.

От каждого педагогического эксперимента необходимо требовать:

1. Точного установления цели и задач эксперимента.

2. Точного описания условий эксперимента.

3. Определения в связи с целью исследования контингента учащихся.

4. Точного описания гипотезы исследования.

Естественный эксперимент – эксперимент, который проводится в обычных, естественных условиях обучения и воспитания.

Лабораторный эксперимент – эксперимент, в котором в классе выделяется группа учеников и исследователь с ними проводит особые беседы, индивидуальное и групповое обучения и наблюдает за их эффективностью.

Констатирующий эксперимент - педагог-исследователь экспериментальным путем устанавливает только реальное состояние изучаемой педагогической системы, констатирует факт связи, зависимости между явлениями.

Формирующий эксперимент - проводится целенаправленная его организация для определения условий (методов, форм и содержания образования) личности школьника или детского коллектива.

Этапы эксперимента:

• теоретический (постановка проблемы, определение цели, объекта и предмета исследования, его задач и гипотез);

• методический (разработка методики исследования и его плана, программы, методов обработки полученных результатов);

• собственно эксперимент (проведение серии опытов – создание экспериментальных ситуаций, наблюдение, управление и измерение реакций испытуемых);

• аналитический (количественный и качественный анализ, интерпретация полученных фактов, формулирование выводов и практических рекомендаций).

Предшествующий эксперименту этап включает в себя:

• тщательный теоретический анализ ранее опубликованных по этой теме работ;

• выявление нерешенных проблем;

• выбор темы данного исследования;

• постановку цели и задач исследования;

• изучение реальной практики по решению данной проблемы;

• изучение существующих в теории и практике мер, содействующих решению проблемы;

• формулирование гипотезы исследования.

Подготовка к проведению эксперимента состоит из ряда задач:

• выбор необходимого числа экспериментальных объектов (числа школьников, классов, школ и др.);

• определение необходимой длительности проведения эксперимента;

• выбор конкретных методик для изучения начального состояния экспериментального объекта, анкетного опроса, интервью, для создания соответствующих ситуаций, экспертной оценки и др.;

• определение признаков, по которым можно судить об изменениях в экспериментальном объекте под влиянием соответствующих педагогических воздействий.

Подведение итогов эксперимента:

• описание конечного состояния системы;

• характеристика условий, при которых эксперимент дал благоприятные результаты;

• описание особенностей субъектов экспериментального воздействия (учителей, воспитателей и др.);

• данные о затратах времени, усилий и средств;

• указание границ применения проверенной в ходе эксперимента системы мер.

Задачи конкретных экспериментов в области методики обучения математике:

• проверка определенной системы обучения;

• сравнение эффективности определенных методов обучения;

• разработка систем мер по формированию у учащихся познавательных интересов и потребностей;

• проверка эффективности мер по формированию у учащихся навыков учебного труда;

• развитие познавательной самостоятельности школьников;

• методические исследования, связанные с выбором оптимального варианта той или иной системы.

Проведение эксперимента по проверке эффективности определенной системы мер включает:

• изучение начального состояния системы, в которой проводится анализ начального уровня знаний и умений, воспитанности определенных качеств личности или коллектива и др.;

• изучение начального состояния условий, в которых проводится эксперимент;

• формулирование критериев эффективности предложенной системы мер;

• инструктирование участников эксперимента о порядке и условиях эффективного его проведения (если эксперимент проводит не один педагог);

• фиксирование данных о ходе эксперимента на основе промежуточных срезов, характеризующих изменения объектов под влиянием экспериментальной системы мер;

• указание затруднений и возможных типичных недостатков в ходе проведения эксперимента;

• оценка текущих затрат времени, средств и усилий.

Вопросы и задания:

1. Определите понятие педагогического эксперимента. Приведите разные определения.

2. Дайте характеристику этапов педагогического эксперимента.

3. Охарактеризуйте подготовительную работу к проведению эксперимента.

4. В чем отличие естественного и лабораторного экспериментов?

5. В чем заключается суть констатирующего эксперимента? Формирующего эксперимента?

6. Составьте описание эксперимента вашей научно-исследовательской работы.

Литература

1. Бабанский, Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: (Дидактический аспект). – М.: Педагогика, 1982.

2. Полонский, В.М. Оценка качества научно-педагогических исследований. – М.: Педагогика, 1987. – 144 с.

3. Введение в научное исследование по педагогике: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. В.И. Журавлева. – М.: Просвещение, 1988.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

5. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176 с.

——

Раздел II. Вопросы частной методики обучения математике §1. Пропедевтический курс геометрии в 5-6 классах

Геометрический материал в 5-6 классах распределен по всему курсу математики. Он составляет содержание пропедевтического курса геометрии. Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого-нибудь научного или специального занятия.

Основные цели этого курса – подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии 7-9 классов, к изучению смежных дисциплин в школе.

При этом решается ряд задач:

1. Развитие логического мышления учащихся; привитие элементарных навыков определения простейших геометрических понятий, навыков четкой формулировки выводов на основе наблюдений.

2. Развитие пространственных представлений у учащихся.

3. Ознакомление учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями (без введения понятий «определение», «теорема», «доказательство»).

4. Формирование умений и навыков измерения геометрических величин.

5. Формирование умений и навыков в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира; формирование рациональных приемов построения.

6. Развитие творческой активности и самостоятельности учащихся.

Цели и задачи пропедевтического курса геометрии определяют его содержание, которое включает многие вопросы, изучаемые в систематическом курсе геометрии 7-9 классов.

В этих классах в процессе обучения:

1. Уточняются и углубляются представление о геометрических объектах и их свойствах, приобретенные при обучении в 1-4 классах (например, отрезок, луч, прямая и т.д.).

2. Вводятся новые геометрические фигуры, некоторые преобразования фигур.

3. Изучаются новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (длина окружности и т.д.), проводится четкое различие величин и фигур (например, отрезок и длина отрезка).

4. Расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.

Пропедевтический курс геометрии связан с систематическим курсом планиметрии 7-9 классов, как по содержанию, так и по идейной направленности:

1. Знакомство в пропедевтическом курсе с основными геометрическими понятиями, с простейшими математическими фактами, являющимися аксиомами и теоремами, проведение первых логических обоснований, являющихся доказательствами, все это служит подготовкой для раскрытия логического построения геометрии.

2. Знакомство учащихся с геометрической терминологией и символикой, которые используются и в систематическом курсе

3. Ознакомление с некоторыми видами отображения фигур готовит учащихся к сознательному усвоению идей геометрических преобразований.

4. Знакомство с координатной прямой.

5. Знакомство с такими геометрическими величинами как длина, площадь, объем и т. д.

6. Реализация связи теории с практикой.

7. Включение задач, позволяющих развивать у учащихся пространственные мышления.

Содержание геометрического материала, изучаемого в 5-6 классе, составляют основные понятия, такие как: точка, прямая плоскость, луч, отрезок, угол, треугольник. Эти вопросы не являются для учащихся 5-6 классов новыми, они рассматриваются ими в начальной школе на интуитивном уровне.

Представим анализ пропедевтического курса геометрии в учебниках математики 5-6-х классов.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.-302с.

Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – М.: Дрофа, 1996. – 304 с.

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2006. – 280 с.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений – М.:Просвещение, 2006. – 302 с.

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.

Вопросы и задания:

1. Сформулируйте основные цели и задачи пропедевтического курса геометрии.

2. Изложите основное содержание геометрического материала, изучаемого в 5-6 классах.

3. Приведите примеры использования наблюдений и опыта при ознакомлении учащихся с новыми понятиями и их свойствами.

4. Разработайте дидактический материал с использованием технических средств обучения, ориентированный на формирование пространственного воображения учащихся 5-6 классов.

5. Проанализируйте учебник геометрии для учащихся 5-6 классов (автор В.А.Гусев) по предложенной схеме:

1. Структурные особенности учебника: общее представление учебного материала; представление теоретического и задачного материала и др.

2. Методические особенности учебника: характер изложения учебного материала; выделение материала для заучивания; наглядность; повторение ранее изученного; использование исторических материалов и др.

3. Выводы по анализу учебника: достоинства, недостатки, соответствие программе.

6. Составьте фрагмент урока по изучению пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах с использованием наглядного материала.

Литература

1. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

2. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: Вербум, 2003.

3. Гусев, В.А., Орлов В.В., Панщина В.А. и др. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

5. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

6. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Т.В.Автономова, С.Б.Верченко, В.А.Гусев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.

7. Санина, Е.И., Воронько, Т.А., Рогова, Е.А. Основы исследовательской деятельности в физико-математическом образовании: учеб. пособие для самостоятельно работы студентов. – М., 2005. – 52 с.

§2. Виды и методы решения текстовых задач

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».

Текстовой задачей, как правило, называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием, либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описываются не все события или явления, а лишь его количественные и функциональные характеристики. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие виды текстовых задач:

1. задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

2. задачи на пропорциональное деление;

3. задачи на исключение одного из неизвестных;

4. задачи на среднее арифметическое;

5. задачи на проценты и части;

6. задачи на движение;

7. задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом» и т.д.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом – строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод – построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур. Рассмотрим пример решения текстовой задачи различными способами.

Задача. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение: 1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одно го отрезка по горизонтали – за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т.д. (рис. 1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали – расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у=20х, второго – у = 250 – 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис. 1, б). Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения – отрезком OS (рис. 1, в). Тогда площадь S прямоугольника OSO₁Т (она равна OS∙ОТ) соответствует расстоянию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 =50 ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

О твет: через 5 ч.

Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача «о волке, козе и капусте», или задачи «на взвешивание».

Практический метод. Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т.п. В этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом. Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Этапы решения текстовых задач.

Деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ содержания задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выделяет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное про­хождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом «проб и ошибок», игнорирование других (например, проверки решения задачи) – к получению неверного ответа и т.д.

Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.

1. Анализ задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.

Первый прием – представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, – выполняется фактически при чтении текста задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения – выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй прием – постановка специальных вопросов и поиск ответов на них – включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

1. О чем говорится в задаче?

2. Что известно в задаче?

3. Что требуется найти в задаче?

4. Что в задаче неизвестно? и др.

Третий прием – переформулировка текста задачи – состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Вспомогательные модели являются действенным средством поиска пути решения задачи и составления плана ее решения.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения. Назначение этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь к ее решению. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).

В первом случае (аналитический путь) необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и опреде­лить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное) и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

Анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы заключается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

3. Осуществление плана решения задачи. Назначение этапа – найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения. Прежде всего, остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, «м» – метр, «км/ч» – километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, записываются «м²», «м³». Вес названия метрических мер, употребляемых без чисел, выписываются полностью словами, например: «сколько гектаров земли...», а не «сколько га земли...». Принято названия метрических мер выписывать полностью и в случае буквенной символики, например, «а литров», «b метров» и т.д. Однако часто этого не делают, а используют более удобную запись «х км/ч», «у м³» и т.д. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений.

Рассмотрим пример задачи, решаемой геометрическим методом.

Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполняют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

Задача. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение: Математическую модель задачи представим в виде диаграммы (рис. 2). По горизонтали будем откладывать массу сплава (в килограммах), по вертикали – число долей серебра в сплаве.

Рассмотрим вначале доли какого-либо одного металла в сплаве, например доли серебра. Серебро составляет 3/5 первого сплава, 7/10 второго и 11/16 искомого. Общий знаменатель этих дробей – 80, следовательно, на каждые 80 частей в первом сплаве приходится 48 частей серебра, во втором – 56 частей, в искомом – 55 частей.

Проведем горизонтальный отрезок АВ, изображающий 8 кг (массу искомого сплава). По вертикали для уменьшения размера чертежа наносим на луче АС деления, начиная не с нуля, а с 48 (48 — наименьшее число долей серебра в сплавах). Соединяем прямолинейным отрезком точки В (8кг) и С (56 долей серебра) и проводим через точку с отметкой 55 горизонтальную прямую до пересечения с ВС в точке D, а через D — вертикальную прямую до пересечения с АВ в точке Е. Отрезки АЕ и ЕВ указывают ответ: надо взять 1 кг первого сплава (отрезок АЕ) и 7 кг второго сплава (отрезок ЕВ).

Ответ: 1 кг; 7кг.

4. Проверка решения задачи. Назначение этапа — установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения.

Проверку решения задачи можно проводить различными способами. Перечислим их:

I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

2. Составление и решение задачи, обратной данной.

3. Решение задачи различными способами.

4. Решение задачи различными методами.

V. Прикидка (грубая проверка).

Особенностью текстовых задач является то, что эти задачи присутствуют во всех изучаемых темах в курсе математики и алгебры в средних классах, отличительной чертой являются лишь их методы решения.

Решение текстовой задачи по методам решения разделяется на 2 условных этапа:

I этап: 5-6 классы задачи решаются арифметическим, геометрическим, логическим методами, практический;

II этап: 7-9 классы задачи решаются выше перечисленными методами, основным является алгебраический метод.

В результате решения текстовой задачи формируются такие умения, как решение задачи различными методами, измерение геометрических величин, моделирование математических ситуаций, умение решать подбором, логически рассуждать, распознавать в задачах жизненные ситуации и решать их, умение анализировать, умение находить поиск путей решения, оформлять рисунки, чертежи и условия задачи, а так же вырабатывается умение абстрактно представлять; вырабатывается навык решения элементарных задач, навык четкой формулировки выводов на основе наблюдения, развивается логическое мышление.

Вопросы и задания:

1. Назовите и охарактеризуйте виды текстовых задач. Приведите примеры задач разных видов.

2. Какие основные методы решения текстовых задач вы знаете? Дайте краткую характеристику каждого метода.

3. Раскройте содержание этапов решения текстовых задач.

4. Как организовать работу учителя по формированию умения анализировать условие задачи?

5. Как можно реализовать межпредметные связи при решении текстовых задач в школьном курсе математики?

6. Составьте текстовые задачи с этническим содержанием и раскройте методику их решения.

7. Выберите любую текстовую задачу и разработайте поэтапную методику ее решения.

8. Составьте предписание для учащихся при решении текстовых задач с помощью составления уравнений.

Литература

1. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

2. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

4. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 215 с.

5. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Т.В.Автономова, С.Б.Верченко, В.А.Гусев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.

6. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. – Киев: Рад.школа, 1983. – 192 с.: ил.

§3. Методика обучения геометрическим построениям

Одной из особенностей геометрических задач является их индивидуальность, то есть не существует универсального метода их решения. При решении геометрических задач в значительно меньшей степени может быть использован образец решения некоторого класса задач. Задачи по курсу геометрии можно разделить на три основных вида: на вычисление, на доказательство и на построение. Задачи на построение традиционны для программы курса геометрии. Обучение их решению можно рассматривать как подготовку учащихся к жизни. Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно. Эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений. И только в задачах на построение четко выделяется такой этап их решения, как исследование. Это наиболее трудный вид работы, цель которого установление условия разрешимости задачи и определение числа ее решений.

Основная цель изучения задач на построение – сформировать умение и развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Схема решения задачи на построении включает в себя следующие этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.

Анализ: цель которого – составление плана решения, осуществляется по – разному при различных методах построения: иногда предполагают искомую фигуру построенной, иногда разбивают условие задачи на несколько частей и т.д.

Построение – осуществление плана решения задачи, составленного в результате анализа.

Доказательство – установление правильности решения, доказательство того, что полученное решение удовлетворяет условиям задачи.

Исследование – определение всевозможных случаев, допускаемых условиями задачи, и числа решений в каждом из этих случаев. Заметим, что только в задачах на построение четко выделяется такой этап их решения. Это наиболее трудный вид работы, цель которого установление условия разрешимости задачи и определение числа ее решений.

С точки зрения логики узловыми этапами решения задачи на построение являются два – анализ и доказательство. Рассмотрим эти этапы подробнее и установим тесную логическую взаимосвязь между ними. Анализ начинается с того, что требуемая фигура построена, т.е. выполнены все те свойства, которые сформулированы в условии задачи. В ходе анализа из этих свойств мы пытаемся извлекать какие-то выводы, и каждый такой вывод анализируем на то, можно ли от него вернуться к данному условию. Другими словами, мы ищем такие необходимые следствия данных условий задачи, которые, в свою очередь, для этих условий окажутся достаточными. Что же происходит при доказательстве? Выведенные в процессе анализа следствия становятся условиями. Из этих условий должны быть выведены те свойства, которые сформулированы в условии задачи. Таким образом, следствия анализа становятся условиями доказательства, а условия анализа – следствиями доказательства. Это означает, что в процессе анализа мы устанавливаем ряд прямых теорем, а в процессе доказательства используем обратные для них теоремы. Отсюда задача анализа выявить в его ходе такие теоремы, обратные утверждения для которых сами будут справедливы, т.е. сами будут теоремами.

Из этой логики вытекает методика обучения решению задач на построение. Указать учащимся на эту логическую связь анализа и доказательства и предложить им каждый раз обнаруживать и четко формулировать прямые теоремы в ходе анализа и обратные для них теоремы в ходе доказательства. Если навык такого подхода будет выработан, то учащиеся будут отчетливо представлять логику решения задач на построение и свою задачу на каждом этапе решения.

Предположим, что в качестве средств построения выбраны циркуль и линейка. Сначала выбираются первичные неопределяемые понятия. Такими являются понятия построенных основных фигур, т.е. каждая из фигур, участвующих в условии задачи, считается изначально построенной. Далее формулируются правила, по которым к имеющимся фигурам с использованием циркуля и линейки можно строить новые фигуры. Вот эти правила (постулаты):

(П1). Если есть две различные точки А и В, то можно построить отрезок АВ, прямую АВ и четыре луча.

(П2). Если есть три точки А, В, С (В не равно С), то можно построить окружность с центром в точке А с радиусом, равным отрезку ВС.

(П3). Если построены две непараллельные прямые, то можно найти точку их пересечения.

(П4). Если построены пересекающиеся прямая и окружность, то можно найти точки их пересечения (в частности, на данной прямой отложить отрезок, равный данному отрезку).

(П5). Если построены две пересекающиеся окружности, то имеем точки их пересечения.

Использование других инструментов (чертежного треугольника, угольника, транспортира) оговаривается отдельно.

Существуют задачи на построение, которые не могут быть решены с помощью циркуля и линейки:

а) задача о трисекции угла (дан угол α; построить угол величиной 1/3α);

б) задача об удвоении куба (дан куб, то есть отрезок равный ребру куба; построить другой куб, то есть ребро такого куба, объем которого вдвое больше объема данного куба);

в ) задача о квадратуре круга (дан круг; построить квадрат, площадь которого равна площади круга).

Рассмотрим решение одной стандартной задачи поэтапно.

Задача. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Решение. Анализ. Пусть треугольник АВС уже построен, тогда положение вершин В и С можно считать известным (рис. 1).

Остается найти вершину А. Выясним свойства точки А. Во-первых, точка А принадлежит лучу ВА, так как дан угол АВС, во-вторых, точка А является вершиной ломаной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

На продолжении стороны ВА за точку А отложим отрезок АА^/, равный отрезку АС. Теперь можно построить треугольник А^/ВС по двум сторонам и углу между ними. В равнобедренном (по построению) треугольнику А^/АС серединный перпендикуляр к стороне А^/С пересечет луч ВА^/ в точке А. Отсюда план построения:

- построить треугольник ВА^/С по сторонам ВС и ВА^/ =АВ+АС и углу между ними;

- провести серединный перпендикуляр к стороне А^/С;

- найти точку пересечения луча ВА и построенного серединного перпендикуляра. Точка пересечения и будет искомой вершиной А.

Доказательство. В построенном треугольнике АВС сторона ВС, сумма сторон АВ и АС, угол В – данные.

Исследование проведем по ходу построения. Треугольник ВА^/С по двум сторонам и углу между ними можно построить единственным образом. Провести серединный перпендикуляр к отрезку А^/С – тоже единственным образом. Точка пересечения луча ВА и серединного перпендикуляра существует и она единственная.

Рассмотрим основные методы решения задач на построение:

1. Метод геометрических мест состоит в том, что задача сводится к отысканию некоторой точки, характеризуемой условием.

2. Метод применения движения (параллельный перенос, поворот, осевая симметрия) состоит в том, что, предполагая искомую фигуру построенной, подбирают такое движение, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

а) она может быть построена по данным задачи;

б) она связана с искомой фигурой. Таким образом, что, будучи сама построенной, позволяет построить и искомую фигуру.

3. Метод подобия состоит в том, что условие задачи разбивают на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры, а другая – ее размеры. По первой части условия строят фигуру, подобную искомой, затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части условия.

4. Метод алгебраический. Этот метод заключается в том, что в искомой геометрической фигуре выделяется отрезок, угол или отношение отрезков при этом длина этого отрезка выражается через длины данных отрезков по некоторой формуле. Для того, чтобы построить выделенный отрезок в искомой геометрической фигуре, нужно провести построение отрезка, длины которых задаются формулами.

Перейдем к анализу действующих учебников математики.

В учебниках для 5-6-х классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные (за исключением учебника под редакцией Дорофеева Г.В. и Шарыгина И.Ф., где есть задачи, требующие построения в общем виде). Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам (линейным, градусным). Однако эти задачи требуют хоть в небольшой степени графических умений и навыков, поэтому при проведении количественного анализа были отнесены нами к задачам «на построение».

Задания на построение из всех геометрических заданий в учебниках математики для 5-6-х классов представлены (в %) в таблице 1.

Таблица 1

В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако, если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках (2) и (3) не превышает 13-16% от всего содержания учебника, а в учебниках (1) – 30-40%, то указанный средний процент заданий на построение в учебниках (2) и (3) падает до 4-6%, а в учебнике (1) – до 9-16%.

Во всех действующих учебниках по геометрии задачи на построение рассматриваются, как самостоятельные, в седьмом классе, кроме учебника В.А. Гусева, где геометрию начинают изучать с 5-го класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в ряде учебников рассматривается метод геометрического места точек. Этим небольшим списком круг задач на построение в учебниках для 7-го класса практически исчерпывается.

В 8-9-х классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) – по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Перечислим основные задачи на построение, решение которых даются в школьном курсе математики:

1. Отложить отрезок вдоль данного отрезка АВ, равный данному отрезку СД.

2. Построить сумму и разность данных отрезков.

3. Отложить от данного отрезка угол, равный данному.

4. Построить сумму и разность двух углов.

5. Найти середину отрезка.

6. Построить биссектрису угла.

7. Восстановить перпендикуляр к прямой через данную на ней точку.

8. Опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

9. Провести из данной точки параллельной данной.

10. Разделить данный отрезок в данном отношении, заданном как отношение данного отрезка а:в или как отношение целых чисел m:n.

Прежде всего некоторые отличительные особенности учебников геометрии В.А. Гусева: 1. Систематический курс геометрии начинается с 5 класса. 2. Основной методической линией курса является взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур. 3. Теоретический материал содержит четко выделенный обязательный объем изучаемых вопросов и дополнительный материал, позволяющий обеспечить развивающее и углубленное изучение. 4. Содержит систему проблемных вопросов, творческих задач и исследовательских заданий.

Рассмотрение задач на построения начинается с изучения равенства треугольников. В учебнике подробно описываются все этапы решения задач на построение. При решении примеров показана реализация каждого этапа решения. Здесь равенства треугольников не доказываются, а устанавливаются при построении треугольника по трем элементам. Общую схему изучения темы «Задачи на построение и равенство фигур» можно представить в виде:

1. Равенство треугольников.

2. Основные чертежные инструменты и виды задач на построение.

3. Как решать задачи на построение?

4. Построение треугольника по трем сторонам.

5. Другие признаки равенства треугольников.

6. Первое знакомство с подобными фигурами.

7. О построениях в пространстве.

В учебнике В.А. Гусева «Геометрия. 7 класс» подробно рассматриваются этапы решения задач, приводятся примеры решения задач. Заметим, что наглядность в изложении курса является приоритетной. При решении задач показана последовательность развития построения на отдельных рисунках. Рисунки способствуют пониманию и развитию, они даются в динамике тех приемов действий, которые выполняются учащимися в процессе рассуждений. В последнем пункте автор дает краткий ответ на вопрос «Что такое построение в пространстве?», формулируются некоторые правила построений в пространстве. Подчеркнем, что основная стратегия данного курса – «Я в пространстве».

Рассмотрим учебник Л.С. Атанасяна (авторского коллектива) «Геометрия 7-9».

В седьмом классе в первой главе «Начальные геометрические сведения» в параграфе «Перпендикулярные прямые» вводятся понятия смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых и показано, как применяются эти понятия при решении задач, а также построение прямых углов на местности. При изучении этого параграфа учащиеся должны уметь строить угол, смежный с данным углом, изображать вертикальные углы, находить на рисунке смежные и вертикальные к третьей, не пересекающиеся.

Во второй главе «Треугольники» специально выделен параграф «Задачи на построение». Назначение параграфа состоит в том, чтобы дать представление о новом классе задач – построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений и рассмотреть основные (простейшие) задачи этого типа.

В результате изучения параграфа учащиеся должны выполнять с помощью циркуля и линейки простейшие построения: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы данного угла; прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой; середины данного отрезка; применять простейшие построения при решении задач.

В четвертой главе изучается построение треугольника по трем элементам. Назначение параграфа – введение понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми, показать, как они применяются при решении задач, рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам.

Несколько уроков должны посвятить решению задач на построение треугольника с помощью циркуля и линейки. Рассматриваются три основные задачи на построение треугольника: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам; в) по трем сторонам.

В восьмом классе задачи на построение с помощью циркуля и линейки рассматриваются в четвертой главе «Четырехугольники». При этом рассматриваются четыре этапа решения задач на построение: 1) отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи, это анализ задачи (анализ дает возможность составить план решения); 2) выполнение построения по намеченному плану; 3) доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи; 4) исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, что при любых ли данных ли задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

В девятом классе при построении правильных многоугольников рассмотрены способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построение правильного треугольника и правильного четырехугольника, т.е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных n-угольников при n>4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

В учебнике И.Ф. Шарыгина «Геометрия. 7-9кл.» задачи на построение даются в трех пунктах.

В 7-м классе они рассматриваются после изучения геометрических мест точек в следующей последовательности:

• построение перпендикуляра к прямой;

• построение треугольника, равного данному, и угла, равного данному;

• построение биссектрисы угла;

• построение прямой, параллельной данной;

• построение касательной к окружности.

В 8 классе при изучении углов решаются следующие задачи:

• построение перпендикуляра к прямой;

• построение касательной;

• существование окружности проходящей через три точки;

• описанная окружность;

• четыре точки на одной окружности;

• дуги вмещающая данный угол;

• метод геометрических мест в задачах на построение.

При изучении методов подобия решаются задачи на построение отрезка по формуле и построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника.

При первом знакомстве с данными задачами в учебнике дается краткое историческое сведение, подробное описание построения. Рисунок с последовательностью нанесения линий, последовательность нанесения точек линий в рисунке пронумерованы.

Анализ учебников геометрии Л.С. Атанасяна, В.А. Гусева и И.Ф. Шарыгина позволяет сделать следующие выводы:

• В основном задачи на построения даются в седьмом и восьмом классах. При изучении таких тем, как геометрические места точек; окружности; углы; треугольники и многоугольники.

• Перед изучением темы даются краткие сведения о целесообразности геометрических построений или историческая справка.

• Методы построения показаны в задачах или как вопрос с объяснением построения.

• Для реализации принципа наглядности изложения учебного материала необходимо показать динамику развития построения для каждого отдельного шага. Наиболее последовательно это реализовано в учебнике В.А.Гусева.

Вопросы и задания:

1. Какова роль задач на построение в обучении математике?

2. Перечислите этапы решения задач на построение и раскройте их содержание.

3. Охарактеризуйте основные методы решения задач на построение.

4. Какие из этих методов решения задач на построение изучаются в школьном курсе геометрии?

5. Представьте решение основных задач на построение, которые даются в школьном курсе математики.

6. Проиллюстрируйте реализацию принципа наглядности по отношению к решению конкретной задачи на построение и разработайте поэтапную методику ее решения.

Литература

1. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: Вербум, 2003.

2. Гусев В.А., В.В. Орлов, В.А.Панщина и др. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223с.

4. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416с.

5. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 215 с.

6. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Т.В.Автономова, С.Б.Верченко, В.А.Гусев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 192с.

7. Санина Е.И., Рогова Е.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – М., 2005. – 36 с.

§4. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начал анализа

Тригонометрические функции являются первыми трансцендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики.

В природе существуют такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями.

Их роль и место в нем определяются главным образом двумя сторонами применения этих функций в теории и практике.

Во-первых, тригонометрические функции дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразнейших задач планиметрии и стереометрии.

Во-вторых, изучение тригонометрических функций позволяет весьма наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций: периодичность, четность и нечетность, ограниченность, монотонность.

Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями осуществляется в 8 классе на индуктивной и наглядной основе. В курсе алгебры и начал анализа осуществляется последний, заключительный этап изучения тригонометрических функций с тем, чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.

Основные образовательные цели изучения тригонометрических функций:

1. Систематизировать знания учащихся о тригонометрических функциях числового аргумента.

2. Обобщить и расширить знания о свойствах тригонометрических функций.

3. Закрепить и развить умения проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений.

4. Познакомить с решением простейших тригонометрических уравнений и неравенств, рассмотреть некоторые приемы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Анализ учебного материала курса алгебры и начал анализа позволяет выделить следующее:

• Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот.

• Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей 360⁰; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа).

• Определение тригонометрических функций на языке радианной меры угла.

• Утверждение функциональной точки зрения на косинус альфа, синус альфа и тангенс альфа (трактовка cos α, sin α и tg α как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, четности и периодичности, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства).

• Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом к которым является тождество-формула косинуса суммы двух аргументов.

• Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях.

• Введение понятий «арксинус», «арккосинус», «арктангенс», «арккотангенс» числа а.

• Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

• Рассмотрение приемов решения некоторых видов тригонометрических уравнений и их систем.

• Производные тригонометрических функций.

• Функция вида f(x)=Acos(wt+φ), описывающая гармонические колебания.

Традиционная методическая схема введения тригонометрических функций такова:

• Вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника.

• Затем введенные понятия обобщаются для углов от 0 до 180.

• Тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Возможные пути введения тригонометрических функций в школе:

• Аналитический. Представляются два варианта. Один из них сводится к анализу дифференциальных уравнений. Ее используют на кружковых занятиях. Второй вариант аналитического введения тригонометрической функции - использование аппарата рядов. Но такой подход для средней школы представляется мало реальным.

• Геометрический. Более привычным для школы представляется второй путь - геометрический. Имеется большое число разновидностей этого пути. Самой наглядной и простой является введение тригонометрических функций путем рассмотрения отношений сторон в прямоугольном треугольнике. Затруднения возникают при переходе к углам, большим прямого и при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента. Попытки преодоления привели к единым по сути подходам – через так называемые тригонометрические линии в круге, через отношение координат радиус-вектор, через проекции единичного вектора. Наиболее удачным представляется первоначальное определение синуса и косинуса как координат точек окружности. В этом случае формальное определение отпадает, так как оказывается, что синус и косинус есть просто новые названия ординаты и абсциссы точки P(α) единичной окружности. Сама точка P(α) является отображением точки P(0) с координатами (1;0) при повороте плоскости на угол α вокруг начала координат. Такое определение дает естественный путь к введению формул для вычисления координат вектора и отсюда к решению разнообразных задач.

Работа по выделению существенных признаков понятия «тригонометрические функции числового аргумента» может быть построена с помощью сравнения понятий «числовые функции» и «тригонометрические функции числового аргумента». В результате сравнения усматривается, что при рассмотрении тригонометрических функций углу сопоставляется число, в то время как при рассмотрение числовых функций числу сопоставляется число.

Поскольку для исследования тригонометрических функций и построения графиков необходимо пользоваться общими приемами, известными для числовых функций, следовательно, целесообразно рассматривать тригонометрические функции числового аргумента.

Идею сопоставления каждому действительному числу значения тригонометрической функции (например, y=sinx) целесообразно иллюстрировать на модели единичной окружности.

Второй вопрос, который целесообразно рассмотреть в связи с изучением тригонометрических функций – это вопрос о периодичности.

В ходе обсуждения можно остановиться на следующих вопросах:

1. Пропедевтика понятия о периодичности функции.

2. Использование свойств периодичности при знакомстве с построением графиков тригонометрических функций.

3. Анализ определения понятия «периодическая функция».

4. Аналитическая и геометрическая интерпретации периодической функции.

5. Период и наименьший положительный период функции.

Для введения общих формул решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств при рассмотрении тригонометрических функций вводятся понятия «арксинус», «арккосинус», «арктангенс» и «арккотангенс числа а». Каждое из этих понятий вводится как число – корень соответствующего уравнения на определенном интервале.

Основные выводы:

• понятие о тригонометрических функциях числового аргумента рассматривается в курсе алгебры и начала анализа на основе повторения известных учащимся сведений из курса математики 8 класса;

• при изучении важно выделить все существенные признаки понятия «тригонометрические функции числового аргумента» исходя из понятий: «числовая функция» и «тригонометрическая функция углового аргумента»;

• при рассмотрении понятия «тригонометрические функции числового аргумента» важно сделать актуально осознаваемой учащимися идею соответствия каждому действительному числу (значению аргумента) другого действительного числа (значение тригонометрической функции);

• использовать определение тригонометрической функции числового аргумента и известные свойства этих функций для построения графиков;

• отработать существенные признаки понятия «периодическая функция».

Вопросы и задания:

1. Выделить ключевые вопросы развертывания функциональной линии в школьном курсе математики и указать класс, в котором рассматривается соответствующий вопрос (на основе анализа учебников алгебры, алгебры и начала анализа).

2. Указать основные этапы введения понятия о тригонометрических функциях числового аргумента (на основе анализа учебников геометрии, алгебры, алгебры и начала анализа)

3. Вводится ли в тексте учебника (явно или неявно) понятие об обратных функциях?

4. Установить какие свойства тригонометрических функций рассматриваются в 10-11 классах.

5. Разработайте один из вариантов введения понятия тригонометрических функций числового аргумента (на примере функций y=cosx, y=tgx, y=ctgx).

6. Проанализируйте набор задач, направленных на формирование понятия о периодичности тригонометрических функций в учебниках алгебры и начала анализа разных авторов.

Литература

1. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

2. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

4. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. // Т.В.Автономова, С.Б.Верченко, В.А.Гусев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.

5. Санина, Е.И., Рогова, Е.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: Учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – М., 2005. – 36 с.

6. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. – Киев: Рад.школа, 1983. – 192 с.: ил.

§5. Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов являются средствами для исследования ее более содержательных объектов, главным образом, тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников, кроме того, многогранники выделяются среди всех тел многими интересными свойствами, например, теорема Эйлера о числе граней, ребер и вершин, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др.

Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

Основные образовательные цели изучения многогранников:

1. Сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии.

2. Дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников.

Тему можно разделить на следующие части:

1. Определение многогранника. Элементы многогранника. Выпуклые многогранники.

2. Призмы. Параллелепипеды.

3. Пирамиды.

4. Правильные многогранники.

Изучение темы начинается с введения понятия многогранника. В разных учебных пособиях по геометрии представлены различные подходы к введению этого понятия. Например, в учебнике А.В. Погорелова «Геометрия 7-11 кл.»: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников», а в учебнике авторского коллектива Л.С. Атанасяна «Геометрия 10-11 кл.»: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело».

При этом подразумевается, что:

1) имеется в виду конечная или ограниченная часть пространства;

2) многоугольники, ограничивающие многогранник, образуют его поверхность; остальная же часть многогранника – это его внутренность;

3) многогранник является связным, т.е. не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой.

После введения понятия многогранника, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается. Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках Л.С.Атанасяна и А.В.Погорелова. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике И.М.Смирновой «Геометрия 10-11 кл.» для гуманитарного профиля». В учебнике А.Д. Александрова «Геометрия 10-11 кл.» для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.

При изучении выпуклых многогранников полезно использовать аналогию с выпуклыми многоугольниками на плоскости. Наряду с выпуклыми многогранниками учащиеся должны наблюдать и модели невыпуклых многогранников, только в результате такого сравнения можно выработать правильное представление о выпуклых многогранниках.

После введения выпуклых многогранников изучаются их основные виды: призмы и пирамиды. Практически во всех учебниках они определяются одинаково.

А дальше при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Так, в учебнике авторского коллектива Л.С. Атанасяна выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике А.В.Погорелова вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А.Д. Александрова по сравнению с учебником Л.С. Атанасяна накладывает дополнительное требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изучение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В школьном курсе рассматриваются численные характеристики: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, объемы. Основное внимание уделяется трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам. Это определяется тем, что: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией; 3) для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Анализ задачного материала показывает, что практически все задачи темы вычислительные, большую часть из них составляют простые задачи. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим. Задачный материал по данной теме дает возможность применения различных методов. При этом у учащихся формируются общие методы и приемы решения задач.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.

Учебник авторского коллектива Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» предназначен для общеобразовательной школы. В этом учебнике при изучении темы «Многогранники» отводится 12 часов. Содержание учебного материала:

1. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы.

2. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды.

3. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников.

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами - тетраэдром и параллелепипедом. На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед - поверхности, составленные из плоских поверхностей (многоугольников).

В результате изучения учащиеся должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников; знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда; уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения.

В данном учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится наглядное представление о геометрических телах. Дальше рассматривается определение геометрического тела, вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников.

В₁ В_n. Далее вводятся определения элементов призмы, разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма – это знакомый им параллелепипед. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.

Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А₁ А₂ … А_n и n треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.

При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Тема «Многогранники» заканчивается рассмотрением симметрии в пространстве и введением понятия правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника – равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n > 6.

В данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др.

Учебник И.М. Смирновой «Геометрия. 10-11 кл.» предназначен для преподавания геометрии в 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

В пункте «Основные пространственные фигуры» с целью формирования представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомления с пространственными фигурами и моделированием многогранников при введении понятия многогранника учащимся демонстрируются следующие многогранники:

- куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

- параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;

- прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани - прямоугольники;

- призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);

- прямая призма – призма, боковые грани которой – прямоугольники; правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

- пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;

- правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы: 1. Выпуклые многогранники (2 часа). 2. Теорема Эйлера (2 часа). 3. Приложения теоремы Эйлера (2 часа). 4. Правильные многогранники (2 часа). 5. Топологически правильные многогранники (1 час). 6. Полуправильные многогранники (2 часа). 7. Звездчатые многогранники (1 час).

Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.

После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения: задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.

При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства.

Учебник А.Д. Александрова, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик «Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы» предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Особенностью является введение двух определений призмы, причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. В разделе о триангулировании многогранника дается другое, конструктивное определение многогранника. При изучении выпуклых многогранников рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Приведем содержание учебного материала: 1) Обобщение понятия многоугольника. Многогранник. 2) Призма, параллелепипед. 3) Пирамида. Виды пирамид. 4) Выпуклые многогранники. 5) Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника. 6) Правильные многогранники.

Таким образом, при изучении многогранников рассматриваются практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики данный вопрос рассматривается с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники.

Вопросы и задания:

1. Составьте понятийный аппарат темы «Многогранники».

2. Приведите различные определения многогранника, выпуклого многогранника, правильного многогранника.

3. Постройте систему определений основных фигур темы на основе логической связи между ними.

4. Предложите задачи, способствующие развитию пространственных представлений и пространственного воображения учащихся при изучении общего понятия многогранника.

5. Составьте вопросы для беседы с учащимися по темам «Призмы» и «Пирамиды».

6. Разработайте фрагмент урока по введению определения многогранника: приведите примеры мотивации введения определения; приведите примеры для выделения существенных и несущественных свойств понятия; приведите примеры заданий на установление взаимосвязей между понятием многогранника и другими понятия; приведите примеры заданий для практического применения понятия.

Литература

1. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: Вербум, 2003.

2. Гусев, В.А., Орлов, В.В., Панщина, В.А. и др. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

4. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

5. Практикум по методике преподавания математики в средней школе. учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 192 с.

6. Санина, Е.И., Рогова, Е.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – М., 2005. – 36 с.

7. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. – Киев: Рад. школа, 1983. – 192 с.: ил.

——

Раздел III. Современные технологии обучения математике §1. Понятие педагогической технологии. Классификация педагогических технологий

Технология обучения – это способ реализации содержания обучения (предусмотренного учебными программами), представляющий систему форм, методов и средств обучения, обеспечивающую наиболее эффективное достижение подставленных целей.

Педагогическая технология – совокупность внешних и внутренних действий, направленных на последовательное осуществление этих принципов в их объективной взаимосвязи, где всецело проявляется личность педагога.

Понятие «педагогическая технология» может быть представлено тремя аспектами:

1. Научным: педагогические технологии – часть педагогической науки, изучающая и разрабатывающая цели, содержание и методы обучения и проектирующая педагогические процессы;

2. Процессуально-описательным: описание (алгоритм) процесса, совокупность целей, содержания, методов и средств для достижения планируемых результатов обучения;

3. Процессуально-действенным: осуществление технологического (педагогического) процесса, функционирование всех личностных, инструментальных и методологических педагогических средств.

Предмет педагогической технологии – область знания, которая охватывает сферу практических взаимодействий учителя и учащихся в любых видах деятельности, организованных на основе четкого целеполагания, систематизации, алгоритмизации приемов обучения.

Признаки педагогических технологий:

• технология разрабатывается под конкретный педагогический замысел, в основе ее лежит определенная методологическая, философская позиция автора;

• технологическая цепочка педагогических действий, операций, коммуникаций выстраивается строго в соответствии с целевыми установками, имеющими форму конкретного ожидаемого результата;

• технология предусматривает взаимосвязанную деятельность учителя и учащихся на договорной основе с учетом принципов индивидуализации и дифференциации;

• элементы педагогической технологии должны, с одной стороны, быть воспроизводимы любым учителем, а с другой – гарантировать достижение планируемых результатов (государственного стандарта) всеми школьниками.

Критерии технологичности:

1. Концептуальность. Каждой педагогической технологии должна быть присуща опора на определенную научную концепцию, включающую философское, психологическое, дидактическое и социально-педагогическое обоснование достижения образовательных целей.

2. Системность. Педагогическая технология должна обладать всеми признаками системы: логикой процесса, взаимосвязью всех его частей, целостностью.

3. Управляемость предполагает возможность диагностического целеполагания, планирования, проектирования процесса обучения, поэтапной диагностики, варьирования средствами и методами с целью коррекции результатов.

4. Эффективность. Современные педагогические технологии существуют в конкурентных условиях и должны быть эффективными по результатам и оптимальными по затратам, гарантировать достижение определенного стандарта обучения.

5. Воспроизводимость подразумевает возможность применения (повторения, воспроизведения) педагогической технологии в других однотипных образовательных учреждениях, другими субъектами.

Структура педагогической технологии:

а) концептуальная основа;

б) содержательная часть обучения:

• цели обучения – общие и конкретные;

• содержание учебного материала;

в) процессуальная часть – технологический процесс:

• организация учебного процесса;

• методы и формы учебной деятельности школьников;

• методы и формы работы учителя;

• деятельность учителя по управлению процессом усвоения материала;

• диагностика учебного процесса.

Источники и составные части новых педагогических технологий:

• социальные преобразования и новое педагогическое мышление;

• наука – педагогическая, психологическая, общественные науки;

• передовой педагогический опыт;

• опыт прошлого, отечественный и зарубежный;

• народная педагогика (этнопедагогика).

Общие технологии – технологии конструирования процесса обучения и его осуществления.

Частные технологии – это технологии решения таких задач обучения и воспитания, как педагогическое стимулирование деятельности учащихся, контроль и оценка ее результатов, и более конкретных задач типа анализа учебной ситуации, организации начала урока и т.д.

Разработка технологии обучения:

1. Организация содержания обучения:

отбор наиболее значимого материала;

структурирование наиболее значимого материала;