Учебные методы изучения математики:

• эвристический метод;

• обучение на моделях;

• метод программированного обучения и т.д.

Методы преподавания математики – способы передачи учащимся определенной системы математических ЗУН. К методам преподавания относятся обучающие беседа, рассказ, объяснение и лекция учителя, управление самостоятельной работой тренировочного характера, руководство работой учащихся с учебной литературой и т.д.

Классификации методов обучения по различным основаниям:

1. По характеру познавательной деятельности:

а) объяснительно-иллюстративный (рассказ, лекция, беседа, демонстрация и т.д.);

б) репродуктивные (решение задач, повторение опытов и т.д.);

в) проблемные (проблемные задачи, познавательные задачи и т.д.);

г) частично-поисковые – эвристические;

д) исследовательские.

2. По компонентам деятельности:

а) организационно-действенные (организация и осуществление учебно-познавательной деятельности);

б) контрольно-оценочные (метод контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности;

в) стимулирующие (стимулирование и мотивации учебно-воспитатель-ной деятельности).

3. По дидактическим целям:

а) методы изучения новых знаний;

б) методы закрепления знаний;

в) методы контроля.

4. По способам изложения учебного материала:

а) монологические – информационно-сообщающие (рассказ, лекция, объяснение);

б) диалогические (беседа, проблемное изложение, диспут).

5. По источникам передачи знаний:

а) словесные (рассказ, лекция, беседа, инструктаж, дискуссия);

б) наглядные (демонстрация, иллюстрация, схема, показ материала, график);

в) практические (упражнения, лабораторные работы, практикум).

Классификация методов обучения математике:

1. Методы, направленные на первичное овладение знаниями:

а) информационно-развивающие:

• передача информации в готовом виде (лекция, объяснение, демонстрация учебных кинофильмов, слушание магнитозаписей и др.);

• самостоятельное добывание знаний (самостоятельная работа с книгой, с обучающей программой, с информационными базами данных – использование информационных технологий);

б) проблемно-поисковые:

• проблемное изложение учебного материала (эвристическая беседа);

• учебная дискуссия;

• лабораторная поисковая работа;

• организация коллективной мыслительной деятельности в работе малыми группами;

• организационно-деятельностная игра;

• исследовательская работа.

2. Методы, направленные на совершенствование знаний и формирование умений и навыков:

а) репродуктивные:

• пересказ учебного материала;

• выполнение упражнения по образцу;

• лабораторная работа по инструкции;

• упражнения на тренажерах.

б) творчески-репродуктивные:

• вариативные упражнения;

• анализ производственных ситуаций;

• деловые игры и другие виды имитации профессиональной деятельности.

Научные методы в математике и ее преподавании

Основные методы математического исследования:

1. Эмпирические методы: наблюдение и опыт.

2. Логические методы:

• Сравнение.

• Анализ и синтез.

• Обобщение и специализация.

• Абстрагирование и конкретизация.

Наблюдение – метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Опыт – метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия.

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Принципы сравнения:

1. Сравнение должно иметь смысл (сравнивать можно только те объекты, которые имеют определенную связь друг с другом).

2. Сравнение должно проходить планомерно (требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение).

3. Сравнение должно быть полным.

Анализ и синтез:

1. Анализ как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому.

2. Анализ как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.

3. Анализ (аналитический) как метод исследования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающееся на понятие числа и меры, а синтез (синтетический) как метод исследования, основу которого составляет изучение качественных свойств объекта.

Виды анализа:

Анализ типа «фильтр» – при таком анализе человек, решающий задачу, действует без всякой видимой системы; он просто наугад хаотически ищет способы решения данной задачи, пробует приме­нить один способ за другим и отсеивает неоправдавшие себя пробы.

Анализ через синтез – это познание новых сторон, качеств и свойств изучаемых объектов путем включения этих объек­тов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут быть обнаружены.

Аналитический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сво­дится к утверждению, известному как истинное.

Синтетический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое утверждение).

Метод восходящего анализа – это метод, сущность которого видна из следующих рассуждений: для того чтобы было верно А, достаточно, чтобы было верно В … .

Обобщение – процесс, при котором мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Специализация – процесс при котором мысленно выделяется некоторое свойство из множества свойств изучаемого объекта.

Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими сторонами. Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какого-либо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.

Индукция (от латинского – наведение, побуждение) имеет три основных значения:

1. это один из видов умозаключений, при котором из двух или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение (вывод);

2. это метод исследования, при котором, желая изучить некоторое множество объектов (некоторое явление), изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов (или те обстоятельства, от которых зависит данное явление);

3. это форма изложения материала в литературном источнике, беседе, когда от менее общих положений приходят к общим положениям (заключениям, выводам).

Основные виды индуктивных умозаключений:

• неполная индукция;

• полная индукция.

Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).

Полная индукция – умозаключение (вывод), основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.

Метод исследовательской (экспериментальной) индукции – это метод, который заключается в установлении причинных связей между объектами или явлениями с помощью наблюдений и эксперимента и имеет смысл лишь тогда, когда эти связи и отношения существуют объективно. При этом проводимые по индукции умозаключения от известного к неизвестному можно считать достоверными лишь с некоторой степенью вероятности.

Дедукция (от латинского – выведение):

1. есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение. Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение. Правильность дедуктивного умозаключения зависит от справедливости обеих посылок. Если обе посылки верны и правильно применено правило вывода, то заключение бесспорно;

2. как метод исследования дедукция характеризуется тем, что для получения нового знания о некотором объекте находят ближайший к данному объекту класс объектов и применяют к этому объекту существенные свойства этого класса объектов;

3. дедукция может выступать и в виде особой формы изложения материала в учебнике и как один из методов обучения, при котором от общих правил и положений приходят к менее общим или частным правилам и положениям.

Виды дедуктивных умозаключений:

1. Умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению.

2. Умозаключение от общего положения к общему положению.

3. Умозаключение от единичного к частному.

Специальные методы обучения математике

Специальные методы обучения математике – это адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности.

Метод построения математических моделей – метод, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам.

Математическая модель – это специальное описание некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально-логический аппарат математики.

Процесс математического моделирования включает три этапа:

1. Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории.

3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного математического решения).

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств.

Аксиомы – утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, принимаемые без доказательства. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.

Обучение аксиоматическому методу включает следующие этапы:

1. Формирование общих приемов поиска и проведения доказательства:

• анализ текста утверждения;

• развертывание условия;

• последовательный анализ заключения и условия утверждения;

• раскрытие содержания прямого и косвенного методов доказательства.

2. Освоение специфических приемов поиска и проведения доказательства утверждений в зависимости от конкретного их содержания и собственно математических методов, используемых при доказательстве утверждений.

3. Раскрытие сущности построения школьного предмета на основе аксиоматической теории.

Метод уравнений и неравенств – метод математики, основная идея которой заключается в:

• установлении основных связей, зависимостей между элементами, характеризующими изучаемое явление (процесс), т.е. в построении словесной модели явления (процесса);

• переводе словесной модели на язык математики: выявленные связи, зависимости между характеристиками явления записываются в виде уравнений, неравенств или их конструкций;

• решении поставленной задачи внутри математической модели;

• переводе полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Метод геометрических преобразований – математический метод, сущность которого состоит в построении модели традиционной евклидовой геометрии в объектах группы геометрических преобразований.

Метод геометрических преобразований в школе – средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. При этом его применение предполагает выполнение следующей последовательности шагов:

• выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

• выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой;

• обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Вопросы и задания:

1. Определите понятие метода обучения в дидактике и теории и методике обучения математике.

2. Какие классификации методов обучения существуют?

3. Охарактеризуйте классификацию методов обучения математике.

4. В каком смысле выступают анализ и синтез в процессе преподавания математики?

5. Охарактеризуйте три основных значения индукции и дедукции.

6. Назовите основные этапы метода математического моделирования.

7. В чем заключается суть аксиоматического метода?

8. Составьте реферат на тему «Основные традиционные методы обучения математике».

9. Подготовьте сообщение о проблемном обучении математике.

Литература

1. Бабанский, Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. – М.: Просвещение, 1985. – 208 с.

2. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1975. – 368с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

5. Санина, Е.И., Рогова, Е.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – М., 2005. – 36 с.

6. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. – М., 2002.

7. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176с.

8. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. – М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. – 224 с.

§4. Формы организации обучения математике

Важную роль в учебном процессе играют формы организации или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса. Основной формой организации учебно-воспи-тательной работы с учащимися является урок. Дадим определения основных форм обучения, рассмотрим понятие «урок», его основные характеристики, структуру, основные требования к уроку, типы уроков, виды анализа уроков, этапы подготовки учителя к урокам.

Организационная форма обучения – специальная конструкция процесса обучения, характер которой обусловлен его содержанием, методами, приемами, средствами, видами деятельности учащихся.

Организационная система обучения – совокупность форм, объединенных по признаку связи учащихся и учителя посредством учебного материала и дополняющих друг друга.

Основные организационные системы обучения:

• индивидуальная;

• классно-урочная;

• лекционно-семинарская.

Виды организационных форм обучения:

• фронтальные;

• групповые;

• индивидуальные.

Фронтальная форма обучения предполагает совместные действия всех учащихся класса под руководством учителя. При этом цель ставится перед всеми учащимися, которые выполняют одинаковые задания; учитель руководит этим процессом и оказывает помощь. Педагогическая эффективность фронтальной работы во многом зависит от умения учителя держать в поле зрения весь класс и при этом не упускать из виду работу каждого ученика. Ее результативность повышается, если учителю удается создать атмосферу творческой работы, поддерживать внимание и активность школьников. Однако фронтальная работа не рассчитана на учет их индивидуальных различий. Она ориентирована на среднего ученика.

Групповая форма обучения – обучение, при котором учитель управляет учебно-познавательной деятельностью групп учащихся класса. При этом ставится учебная цель, дифференцируются задания с учетом познавательных возможностей участников; помощь учителя может быть ориентирована либо на всех учащихся, либо на ту или иную группу. К групповым относят также парную работу учащихся.

Индивидуальная форма обучения предполагает самостоятельную работу каждого ученика в отдельности по выполнению одинаковых для всего класса или группы заданий. Однако если ученик выполняет самостоятельное задание, данное учителем с учетом учебных возможностей, то такую организационную форму обучения называют индивидуализированной. С этой целью могут применяться специально разработанные карточки. В том случае, если учитель уделяет внимание нескольким ученикам на уроке в то время, когда другие работают самостоятельно, то такую форму обучения называют индивидуализированно-групповой.

Коллективная форма организации учебной работы – это такое обучение, при котором коллектив обучает и воспитывает каждого своего члена и каждый член активно участвует в обучении и воспитании своих товарищей по совместной учебной работе. При общеклассной (фронтальной) работе почти исключается сотрудничество и товарищеская взаимопомощь, распределение обязанностей и функций. Все ученики делают одно и то же, они не привлекаются к управлению, так как руководит учебным процессом только один учитель. Коллективное обучение – это также общение обучающих и обучаемых в динамических парах или парах сменного состава.

Урок как основная форма организации обучения математике

Урок – логически законченный, целостный, ограниченный определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации).

Основные характеристики урока:

• цель;

• содержание;

• средства и методы обучения;

• организация учебной деятельности.

Общедидактическая структура урока:

1. Актуализация прежних знаний и способов действий.

2. Формирование новых знаний и способов действий.

3. Применение полученных знаний на практике.

Основные этапы урока:

1. Постановка цели урока перед учащимися.

2. Ознакомление с новым материалом.

3. Закрепление нового материала:

а) на уровне воспроизведения информации и способов деятельности;

б) на уровне творческого применения и добывания знаний.

4. Проверка знаний, умений и навыков.

5. Систематизация и обобщение изученного материала.

Требования к уроку математики:

• целенаправленность;

• рациональное построение содержания урока;

• оптимальный выбор средств, методов и приемов обучения и воспитания на уроке математики, обеспечивающих активное учение школьников;

• разнообразие форм организации учебной деятельности учащихся.

Классификации уроков:

• по месту урока в системе уроков по учебной теме;

• по основной дидактической цели;

• по способу проведения урока.

Основные типы уроков (классификация по основной дидактической цели):

1. Урок ознакомления с новым материалом.

2. Урок закрепления изученного материала.

3. Урок проверки и коррекции знаний, умений и навыков.

4. Урок систематизации и обобщения изученного материала.

Урок ознакомления с новым материалом:

Основная дидактическая цель – введение понятий, установление свойства изучаемых объектов, построение правил, алгоритмов и т.д.

Основные этапы:

• сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности;

• подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний;

• ознакомление с новым материалом;

• первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения;

• постановка задания на дом;

• подведение итогов урока.

Урок закрепления изученного материала:

Основная дидактическая цель – формирование определенных умений.

Основные этапы:

• проверка домашнего задания, уточнение направлений актуализации изученного материала;

• сообщение темы, цели и задач урока, мотивация учения;

• воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях;

• перенос приобретенных знаний и их первичное применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений;

• подведение итогов урока;

• постановка домашнего задания.

Урок проверки и коррекции знаний, умений и навыков:

Основная дидактическая цель – выявление уровня овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.

Основные этапы:

• ознакомление с целью и задачами урока, инструктаж учащихся по организации работы на уроке;

• проверка знаний учащимися фактического материала и их умений раскрывать элементарные внешние связи в предметах и явлениях;

• проверка знаний учащимися основных понятий, правил, законов и умений объяснить их сущность, аргументировать свои суждения и приводить примеры;

• проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных условиях;

• проверка умений учащихся применять знания в измененных, нестандартных условиях;

• подведение итогов.

Урок систематизации и обобщения изученного материала:

Основная дидактическая цель – выделение наиболее общих и существенных понятий, законов и закономерностей, основных теорий и ведущих идей, установление причинно-следственных и других связей и отношений между важнейшими явлениями, процессами, событиями, усвоение широких категорий понятий и их систем и наиболее общих закономерностей.

Основные этапы:

• постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся;

• воспроизведение и коррекция опорных знаний;

• повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

• обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнение практических заданий;

• усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний;

• подведение итогов урока.

Система подготовки учителя к урокам. Анализ урока

Этапы подготовки учителя к урокам:

1. Подготовка к новому учебному году.

2. Подготовка системы уроков по учебной теме.