Теорема существования и единственности.
Пусть
ограниченная
липшицева область в
,
и пусть
фиксировано. Обозначим через
цилиндр
.
Линеаризованные уравнения Навье –
Стокса – это эволюционные уравнения,
соответствующие задаче Стокса:
найти вектор-функцию
и скалярную функцию
представляющие совместно скорость и давление потока такие, что
в
(1.23)
в
(1.24)
на
(1.25)
в
(1.26)
где
и
заданные
вектор-функции, причем
определена на
,
а
на
;
соотношения (1.25) и (1.26) дают соответственно
граничные и начальные условия.
Предположим, что
и
классические
решения задачи (1.23) – (1.26), скажем,
Если
произвольный
элемент из
,
то, как легко видеть,
(1.27)
По непрерывности
равенство (1.27) выполняется для каждого
;
мы видим также, что
Это приводит к следующей слабой постановке задачи (1.23) – (1.26):
для заданных
и
:
(1.28)
(1.29)
найти функцию , такую, что
(1.30)
и
(1.31)
(1.32)
Если
принадлежит
,
то условие (1.32), вообще говоря, не имеет
смысла; прежде чем объяснять, как его
следует понимать, сделаем два замечания.
(i) Пространства (1.28) – (1.30) представляют собой пространства, для которых будут доказаны существование и единственность решения; ясно во всяком случае, что каждое гладкое решение задачи (1.23) – (1.26) удовлетворяет (1.30).
(ii) Мы не можем сейчас проверить, что решение задачи (1.30) – (1.32) есть, в некотором смысле, решение задачи (1.23) – (1.26), и поэтому отложим решение этого вопроса до п. 1.5.
Используя (1.6) и (1.8), мы можем записать (1.31) в виде
(1.33)
Так как
непрерывный
линейный оператор из
в
и
,
то функция
принадлежит
;
следовательно,
,
и из леммы 1.1 вытекает, что
(1.34)
и что п.в. равна некоторой (абсолютно) непрерывной функции из в . Любая функция, удовлетворяющая (1.30) и (1.31), становится, после изменения на множестве меры нуль, непрерывной функцией из в ; следовательно, условие (1.32) имеет смысл.
Предположим снова,
как и в (1.28), что
.
Если удовлетворяет (1.30) и (1.31), то, как видно из вышесказанного, удовлетворяет (1.34) и (1.33). Согласно лемме 1.1, равенство (1.33) эквивалентно следующему:
(1.35)
Обратно, если
удовлетворяет (1.30), (1.34) и (1.35), то
,
очевидно, удовлетворяет (1.31)
.
Другая формулировка слабой задачи выглядит следующим образом: даны и , удовлетворяющие (1.28) – (1.29); найти , такое, что
(1.36)
на
(1.37)
(1.38)
Любое решение задачи (1.36) – (1.38) служит решением задачи (1.30) – (1.32) и наоборот.
Относительно существования и единственности решения этих задач мы докажем следующую теорему:
Теорема 1.1. Для заданных и , удовлетворяющих (1.28) и (1.29), существует единственная функция , которая удовлетворяет (1.36) – (1.38). При этом
(1.39) Доказательство существования дается
в пункте 1.3, а единственность и включение
(1.39) будут доказаны в п. 1.4.
1.3. Доказательство
существования. Применим метод Фаэдо
– Галёркина. Так как
сепарабельно,
то существует последовательность
линейно-независимых элементов
тотальная
в
.
Для каждого
определим приближенное решение
уравнений (1.37) или (1.31) следующим образом:
, (1.40)
(1.41)
(1.42)
где
это,
скажем, ортогональная проекция в
элемента
на подпространство, натянутое на
.
Функции
,
это
скалярные функции, определенные на
,
а (1.41) есть система линейных дифференциальных
уравнений относительно этих функций;
в самом деле, мы имеем
(1.43)
поскольку элементы
линейно-независимы, то, как хорошо
известно, матрица с элементами
невырожденна; следовательно, обращая
эту матрицу, мы можем свести (1.43) к
линейной системе с постоянными
коэффициентами
(1.44)
где
Условие (1.42) эквивалентно
уравнениям
компонента
(1.45)
Система линейных
дифференциальных уравнений (1.44) с
начальными данными (1.45) единственным
образом определяет
на всем интервале
.
Так как скалярные функции
интегрируемы с квадратом, то это верно
и для функций
и, следовательно, для каждого
(1.44)
Далее мы получим не зависящие от оценки для функций , а затем перейдем к пределу.
Априорные оценки.
Домножим уравнения (1.41) на
и просуммируем их для
.
Получим
Но, в силу (1.46),
,
и это дает
(1.47)
Правая часть (1.47)
ограничена сверху величиной
,
поэтому
(1.48)
Интегрируя (1.48) от
до
,
,
находим, что
(1.49)
Отсюда
(1.50)
Правая часть (1.50) конечна и не зависит от ; следовательно,
последовательность
ограничена в
(1.51)
Проинтегрировав
(1.48) от
,
до
,
получим
(1.52)
Отсюда следует, что
последовательность
ограничена в
(1.53)
Предельный переход.
Априорная оценка (1.51) показывает, что
существуют элемент
в
и подпоследовательность
,
такие, что
в слабой топологии
(1.54)
(1.54) означает, что
при
(1.55)
Из пункта (1.55)
следует, что подпоследовательность
ограничена в
;
поэтому, еще раз переходя к
подпоследовательности, убеждаемся, что
существуют элемент
и подпоследовательность (обозначаемая
ниже через
)
такие, что
в слабой топологии
(1.56)
(1.56) означает, что
В частности, принимая во внимание (1.6), имеем
(1.57)
для каждого
.
Сравнивая это с (1.56), мы видим, что
(1.58)
для каждого
;
следовательно,
(1.59)
Для того, чтобы перейти к пределу в (1.41) и (1.42), рассмотрим скалярные функции , непрерывно дифференцируемые на и такие, что
(1.60)
Домножим (1.41) на и проинтегрируем по частям:
Таким образом,
(1.61)
Используя (1.54),
(1.57) и (1.59), нетрудно перейти к пределу
при
в интегралах в левой части; заметим
еще, что
сильно в
(1.62)
В пределе получим
(1.63)
Равенство (1.63),
которое имеет место для каждого
,
позволяет (по линейности) написать
(1.64)
для всякого
,
которое является линейной комбинацией
.
Так как каждый член в (1.64) зависит от
линейно и непрерывно в норме
,
то равенство (1.64) выполняется по
непрерывности для всех
.
В частности, записывая (1.64) с
,
мы получим следующее равенство, которое
выполняется в смысле распределений на
:
(1.65)
это в точности
совпадает с (1.31). Как было показано перед
формулировкой теоремы 1.1., из этого
равенства (1.59) следует, что
и
(1.66) Наконец, остается проверить, что
(непрерывность
доказывается в пункте 1.4). Для этого
домножим (1.65) на
(
то же самое, что и раньше) и проинтегрируем
по частям:
(1.67)
Сравнивая с (1.64),
заключим, что
для любого
и любой функции
рассматриваемого типа. Мы можем выбрать
так, чтобы
,
поэтому
.
Из этого равенства вытекает, что
,
чем и завершается доказательство
существования.