14

1.7. Работа и энергия.

1. Работа силового поля. Мощность.

Если на частицу в каждой точке пространства действует сила, то всю совокупность сил называют силовым полем. В общем случае силы поля могут меняться от одной точки пространства к другой и, кроме того, зависеть от времени.

Графически поле сил может быть представлено с помощью силовых линий. Тогда в любой точке поля касательная к силовой линии задает направление силы, а густота силовых линий пропорциональна напряженности поля.

Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называется стационарным.

Рассмотрим движение материальной точки в силовом поле . Действие силы на перемещении характеризуют величиной, равной скалярному произведению векторов , которую называют элементарной работой силы на перемещении :

,

. (7.1)

Работа - скалярная величина. Если угол между силой и перемещением

работа совершена приложенной силой;

работа не совершается;

работа совершена против приложенной силы.

В выражении (7.1) предполагается, что на перемещении сила .

Работа на конечном пути. Разобьем весь путь на элементарные перемещения, на каждом из которых силу можно считать постоянной. Работа обладает свойством аддитивности, т.е. работа на конечном участке пути равна алгебраической сумме работ, совершенных на элементарных перемещениях:

. (7.2)

Устремив к нулю длины перемещений, а их число - к бесконечности,

получим предел суммы, который есть ни что иное, как интеграл:

. (7.3)

Итак, работа, по определению, – криволинейный интеграл от вектора вдоль траектории .

Графическая иллюстрация: отложим по оси ординат проекцию силы на направление движения как функцию положения частицы на траектории. Работа силы на участке 1-2 равна площади под кривой.

Примеры.

а) :

б) (модуль силы упругости):

Единицы работы:

Система СИ: 1 Дж = 1Н1м

Система СГС: 1 эрг = 1Дн1см

Связь между единицами работы

1Дж = 10⁷ эрг,

1 эВ = 1.60210^-12 эрг,

1 КэВ = 10³ эВ,

1 МэВ = 10⁶ эВ,

1 ГэВ = 10⁹ эВ,

1 ТэВ = 10¹² эВ,

Работа равнодействующей силы равна сумме работ каждой из сил.

Так, если сила , то работа

(7.4)

Работа, совершенная в единицу времени, - мощность:

(СИ: Вт = Дж/с) (7.5)

(7.6)

Представление мощности через мгновенную скорость:

(7.7)

7.2. Кинетическая энергия.

Преобразуем полученное для работы выражение, используя основное уравнение динамики (6.3) и выражение для пути :

, (7.8)

где и - вектор скорости материальной точки и его элементарное приращение, соответственно.

Элементарное приращение вектора скорости материальной точки и сам вектор скорости , что, впрочем, не очевидно, могут не совпадать друг с другом по направлению. Если под понимать длину вектора , то из графической иллюстрации можно видеть, что

где элементарное приращение длины вектора скорости

(при этом ). Тот же результат можно получить иначе.

Продифференцируем обе части очевидного соотношения:

,

тогда имеем

.

Т.о., скалярное произведение под интегралом равно

. (7.9)

Итак, подставляя (7.9) в (7.8) получаем

. (7.10)

Величина

(7.11)

называется кинетической энергией материальной точки.

Вывод: Работа силы при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 равна приращению кинетической энергии этой точки:

(7.12)

Этот результат легко обобщается для случая произвольной системы материальных точек.

Система частиц: кинетическая энергия системы материальных точек (тел) равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые её можно мысленно разделить

(7.13)

Если сложить выражения (7.12), записанные для каждой материальной точки, входящей в состав рассматриваемой системы, то получим аналогичное выражение для всей системы материальных точек.

В этом случае под следует понимать работу всех сил, как внешних, так и внутренних, действующих на материальные точки системы.

Отсюда вытекает важное свойство рассматриваемой физической величины: кинетическая энергия системы материальных точек определяется работой не только внешних, но и внутренних сил., действующих на или в данной системе. В этом заключается существенное отличие кинетической энергии от другой важнейшей физической характеристики – количества движения (импульса), которое изменяется только за счет действия внешних сил (внутренние силы не меняют импульса всей системы).

Пример: система из двух неупруго сталкивающихся частиц – кинетическая энергия системы меняется, а импульс сохраняется.

Преобразование кинетической энергии при переходе от одной ИСО к другой:

, (7.14)

т.е. кинетическая энергия не инвариантна относительно преобразований Галилея.