2. Метод комплексних амплітуд

Зображення гармонічної функції на комплексній площині. Комплексний опір. Комплексна потужність. Закони Ома та Кірхгофа в комплексній формі. Розрахунок розгалужених кіл методом комплексних амплітуд. Векторні діаграми - та їх побудова. Дії над комплексними числами. Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до полярної і навпаки.

2. Кола зі взаємною індуктивністю

Магнітнозв'язані кола. Зустрічне та узгоджене з'єднання двох котушок з індуктивним зв'язком. Методи визначення коефіцієнта взаємної індукції. Векторні діаграми електричних кіл зі взаємною індуктивністю. Методи розрахунку індуктивно-зв'язаних кіл. Енергія індуктивно-зв'язаних котушок.

На рис.7.1 зображені два магнітозв’язані контури; де ψ₁₁– власне магнітне потокозчеплення першого контура, створене струмом i_1; ψ₂₂ – власне магнітне потокозчеплення другого контура, створене струмом i₂ .

Рисунок 7.1

Частина потокозчеплення ψ₁₂ першого контуру зчіпляється з другим контуром і називається взаємним потокозчепленням першого контура з другим; ψ₂₁-взаємне потокозчеплення другого контура з першим. Сумарні потокозчеплення відповідно першого та другого контурів:

. (7.1)

Магнітні потоки направлені так, що власне і взаємне потокозчеплення складаються. Таке вмикання називається узгодженим. При зміні напрямку одного із струмів вмикання буде зустрічним.

Відомо, що індуктивності котушок

. (7.2)

Відношення взаємних потокозчеплень до струмів, що їх викликають, називають взаємною індуктивністю:

. (7.3)

В третій частині курсу ТОЕ буде показано, що

М₁₂=М₂₁=М. (7.4)

ЕРС, які наводяться потоками в контурах :

, (7.5)

, (7.6)

де e_L, e_M– відповідно ЕРС самоіндукції і взаємоіндукції.

При узгодженому вмиканні котушок ці ЕРС складаються. Також складаються відповідні їм напруги:

, (7.7)

. (7.8)

Напруга взаємної індукції:

. (7.9)

Для позначення способу вмикання котушок (узгодженого чи зустрічного) на схемі часто відповідні затискачі позначають знаком ”*”(рис. 7.2) і називають одноіменними затискачами.

Якщо струми i₁ і i₂ входять в одноіменні затискачі котушок, то вмикання узгоджене.

Якщо струм в одній з котушок синусоїдний, наприклад

i=І_msint,

то в другій котушці наведеться синусоїдна напруга

,

що випереджує струм i₁ на 90⁰. Якщо по другій котушці протікає синусоїдний струм, то напругу на цій котушці, визначену рівнянням (7.8), можна записати в комплексній формі так:

U₂ = I₂ jωL₂ +І₁jωM . (7.10)

Аналогічно для першої котушки

U₁ = I₁ jωL₁ +І₂jωM . (7.11)

При зустрічному вмиканні котушок напруга u_м входить в рівняння зі знаком мінус.

Розглянемо послідовне узгоджене вмикання двох котушок (рис.7.3). Рівняння за другим законом Кірхгофа для контура кола має вигляд

(7.12)

Перші три складові в правій частині є напруга на першій котушці, а другі три – на другій котушці. В напругу на кожній котушці входить складова , тому що струм, який проходить по другій котушці, за рахунок магнітного зв’язку наводить напругу на першій котушці , а струм першої котушки наводить таку саму напругу на другій котушці.

Рисунок. 7.2 Рисунок. 7.3

В комплексній формі рівняння (7.12) має вигляд:

U = I [R₁+R₂+jω(L₁+L₂ +2M) ] . (7.13)

Еквівалентна індуктивність кола

L_екв=L₁+L₂+2M.

Векторна діаграма для узгодженого вмикання показана на рис.7.4.

При зустрічному вмиканні складові в рівнянні (7.12) мають знак мінус. В комплексній формі для зустрічного вмикання

U = I [R₁+R₂+jω(L₁+L₂ -2M) ]. (7.14)

Векторна діаграма для зустрічного вмикання показана на рис.7.5.

Рисунок. 7.4 Рисунок. 7.5

З рівнянь (7.13) і (7.14) випливає, що реактивний опір при узгодженому _у та зустрічному _з вмиканні має вигляд

_у=ω(L₁+L₂)+ω2М, (7.15)

_з=ω(L₁+L₂)–ω2М,

звідки . (7.16)

Вираз (7.16) дозволяє за відомими з досліду значеннями Х_у і Х_з знайти М. З того ж виразу видно, що Х_у > Х_з .

І ншим способом визначення взаємної індуктивності М дослідним шляхом є спосіб, коли перша котушка вмикається через амперметр до джерела синусоїдної ЕРС (рис 7.6), а до затискачів другої котушки вмикається вольтметр з великим внутрішнім опором та вимірюються струм І₁ та напруга U₂.

Миттєве значення цієї напруги

Її діюче значення . Таким чином,

(7.17)

Паралельне з’єднання двох магнітозв’язаних котушок, при якому в один вузол з’єднані початки обох котушок, а в другий – їх кінці, умовно називають узгодженим паралельним з’єднанням (рис.7.7).

Умовність є в тому, що ні по фазі, ні по значенню струми в обох котушках, як правило, не співпадають і на протязі деякої частини періода створюються зустрічнонаправлені взаємні магнітні потоки. Та на протязі більшої частини періода струми котушок направлені однаково і магнітні потоки складаються.

Рисунок. 7.7

Векторна діаграма для узгодженого паралельного вмикання котушок показана на рис.7.8,а, а для зустрічного – на рис.7.8,б.

а) б)

Рисунок. 7.8

Побудову векторних діаграм при відомих із дослідів діючих значеннях струмів можна робити так.

Спочатку будуємо діаграму струмів. Задаємось довільним напрямком вектора струму струму І₂ (можна задавати і напрямок І₁). В вибраному масштабі по цьому напрямку відкладаємо вектор І₂. З рівняння І = І₁+ І₂ для вузла кола видно, що сума струмів І₁і І₂ дає струм І, тобто, вектори струмів утворюють трикутник. Вектор струму І₂ є однією з сторін трикутника (рис.7.9).

Дві інші сторони можна побудувати з допомогою циркуля, зробивши одну засічку з початку вектора І₂ розхилом, відвовідним струму І , а з кінця – струму І₁.

Діаграму напруг будують по загальній методиці. Потрібно тільки мати на увазі, що при узгодженному вмиканні напруга взаємної індукції випереджує, а при зустрічному вмиканні відстає від відповідного струму на 90⁰.

Рисунок. 7.9

Відзначимо, що при зустрічному вмиканні котушок один із струмів може випереджувати прикладену напругу. Це явище в колах із взаємоіндукцією називають хибним ємнісним ефектом.

Передача енергії між індуктивнозв’язаними котушками.

Нехай в індуктивно зв’язаних котушках (рис.7.10) струми

I₁=І₁e^jα1, I₂=І₂e^jα2 .

Вирази потужностей в комплексній формі, обумовлених взаємною індукцією, для першої і другої котушок мають вигляд

(7.18)

(7.19)

.

Звідси маємо

Q_M1=Q_M2= ωM I₁I₂ cos(α₁–α₂), (7.20)

P_M1= –P_M2= ωMI₁I₂sin(α₁–α₂). (7.21)

Р исунок. 7.10

Додатне значення активної потужності означає, що енергія надходить з кола в дану котушку, а від’ємне значення-- передачу енергії з даної котушки в коло.

Сумарна активна потужність, зумовлена взаємоіндукцією, яка надходить до обох котушок, дорівнює нулю: Р_м1+Р_м2=0; сумарна реактивна потужність, зумовлена взаємоіндукцією, в загальному випадку відрізняється від нуля і може мати як знак плюс так і мінус.

Ватметри вимірюють також Р_м1 і Р_м2, тому їхні покази не можна використати для знаходження опорів котушок R₁ i R₂.