2.3.5 Условная вероятность

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место другое влияющее событие В, называется -условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Пусть А - любое событие из пространства элементарных событий Q, и В - некоторое другое событие из того же пространства, причем Р(В)0. Условная вероятность события А при условии, что произошло событие В, определяется как

Р(А/В)=lim(п_в(А)/п_в),

где п_в -число исходов, при котором появляется событие В,

п_в(А) - число исходов, при которых кроме В появляется и событие А. Выражая условную вероятность через вероятности соответствующих множеств, имеем

Р(А/В) - Р(А В)/Р(В). (3.16)

В силу симметрии

Р(В/А)=Р(А В)/Р(А) при Р(А) (3.17)

Из(3. 16) и (3.17) следует

Формула (3.18) отображает собой теорему умножения вероятностей.

Два события А и В называются независимыми, если их условные вероятности не зависят от условий В и А соответственно, т.е. если имеют место соотношения

Р(А/В) = Р(А) и Р(В/А) = Р(В)

В этом случае в соответствии с (3.18) получаем уравнение, характеризующее независимые события

Р(А В) = Р(А)^.Р(В). (3.19)

На основе полученных результатов можно выделить наиболее важные формулы для вычисления вероятностей.

Общие формулы

Если есть дополнение А, то Р(А)+Р( ) =1

Для двух событий А и В

Последнее уравнение можно проиллюстрировать диаграммой Венна.

Независимые события

P(A B)=P(A)^.P(B);

P(A B) =Р(А) + Р(В) - Р(А)^.Р(В).

Несовместные события

Р(А В) =0; Р(А U B) = Р(А) + Р(В).

2.3.6 Теорема о полных вероятностях и формула Байеса

Случай полной вероятности рассмотрим вначале на частном

примере.

Пример 3.6: В ОТК из лопаточного цеха завода поступила партия лопаток для турбокомпрессора в 2000 шт., изготовленных на двух станках: на первом станке произведено 1200 лопаток, на втором - 800. Процент бракованных лопаток для первого станка составляет 4%, для второго - 1%. Насколько велика вероятность выбора из партии бракованной лопатки?

Пусть событие A_i - выбор детали, изготовленной на первом станке, А₂- аналогично вторым станком, В - выбор детали с браком. Требуется определить вероятность события В.

События A₁ и А₂ - несовместны, следовательно

A_l A₂=Ø, P(B/A₁) = 0,04, Р(В/А₂) = 0,01;

Событие В может появиться либо с событием А₁, либо с событием А₂

В=(А₁ В) U (А₂ В).

Так как события A₁ В и А₂ В взаимно исключают друг друга, то в соответствии с (3.14)

Р(В) = Р(А₁ В) + Р(А₂ В).