- •1 Двойные и тройные интегралы
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл и его приложения
- •1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле
- •Примеры решения задач
- •Тройной интеграл
- •Тройной интеграл и его приложения
- •1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле.
- •Примеры решения задач
- •2 Криволинейные интегралы первого рода
- •Криволинейные интегралы первого рода
- •2.2 Примеры решения задач
1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть в тройном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями
(1.21)
которые однозначно разрешимы относительно :
. (1.22)
Обозначим через область в пространстве , в которую отобра-жается область пространства с помощью формул (1.22).
Если функции (1.21) имеют в области непрерывные частные произ-водные первого порядка и якобиан преобразования
в области , то ограниченная замкнутая область пространства взаимно однозначно отображается на область пространства и для тройного интеграла имеет место следующая формула замены переменных:
(1.23)
Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
(1.24)
где (рисунок 1.10).
Рисунок 1.10 |
Рисунок 1.11 |
При переходе от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам по формулам (1.24) поэтому формула (1.23) принимает вид
Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты , то сферическими координатами точки называют тройку чисел , где ― расстояние от точки до начала координат , ― угол между лучом ( ― проекция точки на плоскость ) и осью , ― угол между положительным направлением оси и лучом (рисунок 1.11).
Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями где При этом и формула (1.23) принимает вид
Обобщенными сферическими координатами называют переменные , связанные с прямоугольными координатами формулами
где
Для обобщенных сферических координат и формула (1.23) имеет вид
Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и
Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где
Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна
Рисунок 1.12 |
якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому
|
Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность
Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси
Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,
2 Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы первого рода
Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая , гладкая или кусочно-гладкая, функция определена и ограничена на кривой Разобьем кривую на частей не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму
(2.1)
где ― длина -й частичной дуги
Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от выбора промежуточных точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается
т.е. (2.2)
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую
Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ
Если ― длина кривой , то из формулы (2.2) при следует, что
Если функция неотрицательна в точках кривой , то значение интеграла равно площади куска цилиндрической поверхности, которая образована перемещением перпендикуляра к плоскости по кривой и имеющего переменную длину (рисунок 2.1).
Если кривая - материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью некоторая масса то
Рисунок 2.1 |
С помощью криволинейных интегралов первого рода можно, как это делалось в случае двойных и тройных интегралов, находить моменты инерции материальной кривой относительно координатных осей, координаты центра масс кривой и т.д. |
Если кривая задана параметрически: то
(2.3)
если кривая задана уравнением то
(2.4)
если кривая задана уравнением в полярных координатах то
(2.5)
Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически производится по формуле
. (2.6)