35. Звязок інтегралів Рімана та Лебега
Теорема 1 Для того щоб обмежена функция f(x) була інтегрована (R),необхідно і достатнто, щоб вона була неперервна майже скрізь.
Ця теорема являє собою найбільш простий і зрозумілу ознаку інтегрованості (R).
Припустимо тепер, що функція f(x) інтегрована по (R). Тоді т(х) = М(х), але т(х) f(x) М(х).Тому f(x) = m(x),і f(x), яка є эквівалентна вимірній функції т(х), вимірна сама. Так як будь-яка обмежена вимірна функція інтегрована (L), то така ж і f(x), т. п. з інтегрованості якої-небудь функції за Ріманом випливає її інтегровність за Лебегом.
З
еквівалентності функцій f(x)
і
т(х)
слідує,
що
,
але, для інтегрованої (R)
функції
f(x)
буде
,
де si
нижня сумма Дарбу, що відповідає i-му
способу
дроблення.
Співставивши
це з
ми
бачимо, що
.
Таким чином має місце теорема
Теорема 3. Будь-яка функція, інтегровна за (R), є інтегровною і за (L), і обидва її інтеграла рівні між собою.
Відмітимо, що функція Діріхле (x) (рівна нулю в ірраціональних і в раціональних точках) інтегровна (L) (бо вона еквівалентна нулю), але, як ми знаємо, не інтегровна (R), тому теорема не є оберненою.