Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

до самостійного вивчення вищої математики

на економічному факультеті

Розділ І. Елементи лінійної алгебри.

I курс, 1 семестр.

Кременчук

2003

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

Методичні рекомендації до самостійного вивчення вищої математики на економічному факультеті

(розділ І. Елементи лінійної алгебри. I курс, 1семестр).

Укладач: Тристан Віктор Миколайович, старший викладач.

Рецензент: Семенов В.О, кандидат фізико-математичних наук, професор.

Комп’ютерний набір: Тристан А.В.

Відповідальний за випуск: професор Семенов В.О.

Методичні рекомендації розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри прикладної математики та математичного моделювання від 30 серпня 2003р., протокол № 1

Схвалено методичною радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Затверджено Вченою радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Наклад 26 примірників Передмова

Методичні рекомендації адресовані студентам економічного факультету, які навчаються за спеціальностями „Облік та аудит” та „Маркетинг” стаціонарно та заочно. Вони містять необхідний теоретичний матеріал і розв’язання типових задач І розділу курсу вищої математики для економістів „Елементи лінійної алгебри”, що вивчається в першому семестрі.

Мета методичних рекомендацій полягає у тому, щоб допомогти студентам засвоїти цей розділ курсу вищої математики та набути навичок самостійної роботи при розв’язуванні задач.

Методичні рекомендації містять завдання для самостійної роботи, завдання контрольної роботи в 30 варіантах.

З метою самоконтролю за вивченням курсу до методичних рекомендацій внесено питання для підготовки до екзамену.

Методичні рекомендації містять список рекомендованої літератури.

І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Елементи лінійної алгебри”.

1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.

2. Визначники 2-го та 3-го порядків та їх властивості.

3. Обчислення визначників.

4. Ранг матриці. Мінори та алгебраїчні доповнення. Елементарні перетворення матриць. Обернена матриця.

5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.

6. Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера.

7. Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь.

8. Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі).

9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.

10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.

ІІ. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.

1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.

.

Означення 1

Числова матриця – це прямокутна таблиця, елементами якої є числа.

Ця таблиця позначається великою літерою і поміщається в дужках.

Наприклад, А= – це матриця розмірності 3х4.

Розмірність матриці позначається m х n, де m – кількість рядків , а n – кількість стовпців.

Означення 2

Сумою (різницею) двох матриць А та В називається така третя матриця С, елементи якої одержують додаванням (відніманням) елементів вихідних матриць, що стоять у однакових рядках та стовпцях.

Приклад 1

Знайти суму матриць А + В.

А= , В= , А+В= .

Означення 3

Множення матриці на число дає нову матрицю, кожний елемент якої дорівнює добутку вихідної матриці на задане число.

Приклад 2

Дана матриця А. Знайти 2А.

А= , 2А=

Означення 4

Добутком АВ=С матриці А розмірів m x n і матриці В розмірів n x p називається матриця С розмірів m x p, елемент с_ij якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го стовпця матриці В, тобто с_ij = ( i=1, 2, …,m; j= 1, 2 , … p).

Приклад 3

Знайти добуток двох матриць.

С= А∙В = ∙ =

= =

Як бачимо, множення матриць можливе тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці співпадає з кількістю рядків другої матриці. Такі дві матриці будемо називати узгодженими. Множення матриць у загальному випадку не підлягає комутативній властивості.

Означення 5

Одиничною матрицею називається матриця, що містить одиниці на діагоналі і нулі на інших місцях.

Е =

Означення 6

Квадратною матрицею називається матриця, в якій однакова кількість рядків і стовпців.

Порядком квадратної матриці називається кількість рядків (чи стовпців).

Означення 7

Транспонована матриця – це матриця, у якій рядки замінені стовпцями. Наприклад,

А = А^Т =

2. Визначники 2-го та 3-го порядків та їх властивості.

Означення 8

Визначником (детермінантом) квадратної матриці другого порядку є число, обчислене за таким правилом .

Якщо А = , то =

Наприклад, якщо А= , то = = 2∙9–8∙4=18– –32= –14.

Властивості визначника (детермінанта):

1. Визначник дорівнює 0, якщо всі елементи деякого рядка (чи стовпця) дорівнюють 0.

2. Визначник дорівнює 0, якщо елементи рядка (чи стовпця) пропорційні.

3. Якщо два стовпці чи рядки переставити місцями, то знак визначника зміниться на протилежний.

4. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки замінити стовпцями.

5. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (чи стовпця) додати елементи іншого рядка, помножені на постійне число.

6. Якщо всі елементи рядка помножити на постійне число , то величина визначника збільшиться в разів.

7. Наслідок.

Постійний множник з рядка (чи стовпця) можна виносити за знак визначника.