27. Постановка тз по критерию стоимости.

Пусть имеется mпост-ков А₁, А₂, А₃,…, А_m, у кот сосредоточен груз в кол-ве a_ii=1,m. Груз необход доставить nпотр-лям В₁, В₂,…,В_n, потребность в грузе кот равна соотв-ноb_j, j=1,n. Известны тарифы с_ij,i=1,m; j=1,n, т.е. стоим-ть перевозки ед груза от i-ого пост-ка к j-ому потр-лю. Треб-ся сост-ть полан перевоза груза от пост. к потреб-лю, при кот-м сумм трансп затраты будут миним. .x*= [x_ij]_mxn.Сост. ЭММ данной задачи: minF= c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂+…+c_m1x_m1 + c_m2x_m2 +…+ c_mnx_mn = ∑(m,i=1)∑(n,j=1)с_ijx_ij(1)Количество перевоз. грузаx_ijдолжн удовл-ть огран-ям по запасам, огр-ям по потребн-тям и усл-ям неотрицат-ти. Посл-ее искл-ют обратные перевозки.

∑ (n,j=1) x_ij= a_i, i=1,m(2) огранич по запасам

∑(m,i=1) x_ij=b_j, j=1,n(3) -\\- по потр-тям

x_ij≥0, i=1,m; j=1,n (4)1-4 ЭММТЗ. Матем-ки ТЗ ставится след.обр.: дана система ограничений2,3 при усл-иинеотриц-ти 4. Треб-ся среди множ-ва реш 2,3 найти такое неотриц. реш, при кот-м лин-ая ф-ция 1 примет min знач.

28.Трансп-ная табл. Теорема о сущ-нии допуст плана.

Для реш усл ТЗ запис-ют в распр-нуютабл-цу:

A B	b1	b2	…	bn
a1	c11 x11	c12 x12	… …	c1n x1n
a2	c21 x21	c22 x22	… …	c2n x2n
…	…	…	…	…
am	cm1 xm1	cm2 xm2	… …	cmn xmn

Теорема о сущ-нии допуст плана:

Для того, чтобы ТЗ имела допуст планы, необх. И достат-но выполн рав-в: ∑a_i=∑b_j (там где сумм m,i=1 иn,j=1)(5) Доказ-во. Необход-сть:Докажем, что для допуст плана вып-ется рав-во (5), т.к. план допуст., то по опред-ю он удовл. осн приемлемым огран-ям задачи: ∑x_ij= a_i, i=1,m (n,j=1), ∑x_ij=b_j, j=1,n (m,i=1) Все элементы x_ij суммир. как по строкам, так и по столбцам, однако, от перестановки мест слагаемых ∑ не меняется, поэтому выполняется: ∑ai=∑bi (m,i=1; n,j=1). Дост-сть:покажем если выполн (5)то всегда имеется допустимый план. Обозн. ∑a_i=∑b_j=A. Переменные xij выразим через данные задачи след. обр.: x_ij=a_ib_i/A, i=1,m; j=1,n. (6) Докажем, что (6) сост.допуст.план,т.к. a_i>0, b_j>0, то A>0, поэтому x_ij≥0Набор чисел (6) будет сост.доп.план, если он будет удовлетв. Огр-ям 2,3. Просуммируем (6) по индексу j, и получим, что ∑ (n,j=1) x_ij= ∑ (m, i=1)a_ib_j/A,(j=1,m) = a_i/A *∑(n,j=1)b_j=a_i/A *A= a_i, i=1,m. Аналогично можно просумм(6) по индексу i, тогда получим вып-е 3. Получим, что 6удет огр-ям 2-4. Значит и явл. дополн планом.

29. Тз с закр. И откр.Моделью.

Модель ТЗ – закрытая, если сумм объем груза у поставщиков=сумм.спросу потр-лей

∑a_i=∑b_j. В данном случае груз полностью развозится поставщиками и все потребности потр-лей удовл. В противном случае модель ТЗ – открытая(ОМ), т.е. выполн-ся одно из усл: ∑a_i>∑b_i(1)или ∑a_i<∑b_i(2). В случае ОМ либо все потреб-ти потребит.удовл, но у некот поставщиков остаются излишки груза (1),груз вывезен но потребит не удовлетв. (2). Согласно теореме о существ. Допуст.Плана для разрешимости ТЗ с ОМ ее необходимо преобразовать в ЗМ. При (1) вводится фиктивный потр-ль B_n+1, потр-ть в грузе у него B_n+1=∑a_i-∑b_j в табл. добавл столбец, при (2) вводится фиктивный поставщик, запас груза у него A_m+1=∑b_j-∑a_i,доб строка. При этом тарифы фектив. потр-ля (пост-ка)= 0.

30. Теорема о ранге матрицы:ранг матрицыТЗ на единицу меньше числа уравнений (rangA= m+n-1).Матрица сист. Осн. Огран имеет вид:

А= в каждом столбце только два эл-та=1, остальн=0.если сложитьпервые mстрок получим строку элем котой будут 1,этот же результ будет если слож.последн n строк.обозначая i-ю строку черуз sполучим:s₁+s₂+…+s_m=s_m+1+s_m+2+…+s_m+nочевидно-любая строка это линейн. Комбинацияостальн строк.значит не меняя ранга матр. А можно вычеркнуть,например, последн. строку.Минор(m+n-1)-го порядка м-цы, составл. из столбцов кэф-ов при x_1n,x_2n,...,x_mn,x₁₂,..x_1,n-1,будет отличен от 0,что и доказ-ет теорему

Прикладное значение теоремы о ранге матрицы: кол-во занятых опорным планом клеток должно быть =m+n-1. Опорным решение ТЗ будет тогда и только тогда, когда из занятых m+n-1 клеток нельзя образовать цикл.