23. Различ. Опред-ия понятия «квадрат». Св-ва и признаки квадрата. Опред-е понятия «квадрат» в нач. Курсе о. Матем-ке и алгоритм его использ-ия при распознав-и квадратов.

Квадрат – это прямоуг-к, у кот. соседние стороны равны.

Квадрат – ромб, у кот. один угол прямой.

Квадрат – ромб, у кот. диагонали равны.

Квадрат – параллелограмм, у кот. стороны равны и углы прямые.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Признаки:

Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то это квадрат.

Свойства:

1) У квадрата все углы прямые.

2) Диагонали квадрата равны.

3) Диагонали квадрата пересек-ся под прямым углом и явл-ся биссектрисами его углов.

4) S=a²

5) P=4a

6) Стороны квадрата равны.

7) Имеет 2 оси симметрии.

8) Квадрат симметричен относительно диагоналей.

9) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.

10) Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

11) Точка пересечения диагоналей есть центр симметрии квадрата.

12) Диагонали d = a корня из 2

Опред-е понятия «квадрат» в нач. курсе О. матем-ке

Квадрат – прямоуг-к, у кот. все стороны равны.

Алгоритм использ-ия при распознавании квадратов.

Если 4 угла => 4угольник. Если у 4угольника углы прямые => прямоугольник. Если стороны равны => квадрат.

24. Понятие площади геометр-ой фигуры и ее измер-я. Равновеликие и равносоставл-ые фигуры. Измер-е площади фигуры при пом. палетки. Вычисл-е площади прямоуг-ка. Способы опред-я понятия площади геометр-ой фигуры в нач. курсе О. матем-ке. Примеры заданий из учеб-в матем-ки для нач. шк., при вып-ии кот-х уч-ся овладевают разными способами вычисл-я площадей фигуры.

Площадь фигуры – неотриц-я скалярная величина, определенная для кажд. фигуры так, что:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура сост-т из 2х частей, то ее S равна сумме S-ей этих фигур.

Эти св-ва S фигуры использ-ся при ее измер-ии. Что бы измерить S фигуры, нужно иметь ед-цу площади. Как правило, такой ед-цей явл-ся S квадрата со стороной, равной единич-му отрезку.

Условимся площадь единич-го квадрата обознач. буквой Е. Рез-том измер-я площади фигуры F будет неотриц-е действит-е число, обозначим его S(F). Это число назыв-т численным знач-ем S фигуры F, при выбранной ед-це площади Е.

В геометрии док-но, что для многоуг-ков и огранич-ых плоских фигур такое число всегда сущ-ет и оно единст-но.

Св-ва:

1) Число S(F) – положит-е.

2) Если фигуры равны, то равны численные знач-я их площадей.

3) Если фигура F сост-т из фигур F₁ и F₂, то числ-ое знач-е S фигуры равно сумме числ-ых знач-ий площадей фигур F₁ и F₂.

4) При замене ед-цы S числ-ое знач-е S данной фигуры F увелич-ся (уменьш-ся) во столько же раз, во ск-ко новая ед-ца < (>) старой.

5) Числ-ое знач-ие S единич-го квадрата приним-ся равным 1, т.е. S(F)=1.

6) Если фигура F₁ явл-ся частью фигуры F₂, то числ-ое знач-ие S фигуры F₁ не больше числ-го знач-ия S фигуры F₂, т.е. F₁CF₂ => S(F₁)≤S(F₂).

В практике при измерении S фигуры использ-ся стандартная ед-ца S м², см² и др. Так м² – это S квадрата со стороной равной 1 м. М-у ед-цами S есть взаимосвязь.

1 км² = 1 000 000 м²

1 га = 10 000 м²

1 а = 100 м²

100 дм² = 1 м²;

10 000 см² = 1 м²;

1 000 000 мм² = 1 м².

Равновеликие фигуры – фигуры с равными S.

Равносоставленные – фигуры, кот. м. разбить на одинак-е число соответственно равных частей. Все равносоставленные фигуры явл-ся равновеликими.

Теорема Бойяи-Гервина.

Любые 2 равновеликих многоуг-ка явл-ся равносоставленными.

Измер-е S фигуры.

Способы (прямые – измеряется непосред-но сама фигура):

1. Последоват-но укладывая на фигуре какую-нибудь фигуру, S кот-й принята за ед-цу S. Способ нерациональный.

2. Измер-е при пом. палетки.

Палетка – прозрачная пластина, на кот. нанесена сеть квадратов.

Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру P; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(P) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей: S(F)=(S(Q)+S(P))/2.

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Площадь прямоуг-ка равна произвед-ю длин соседних его сторон.

Опред-я понятия S геометрич. фигуры в нач. курсе О. матем-ке.

Примеры заданий.

25. Понятие дроби и положит-го рационал-го числа. Запись любого натур-го числа в виде дроби. Отнош-я «=», «<» («>») на мн-ве полож-ых рационал-х чисел. Различ-е способы установл-я этих отнош-й. Подходы к трактовке понятия дроби в нач/ курсе матем-ки.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина кот-го равна Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х м. б. представл-а в виде (m/n)•E, где символ (m/n) называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби m\n числа m, n – натур-е (числитель и знаменатель)

Дробь назыв-ся правильной, если ее числит. < знаменат-я, и неправильной, если ее числит-ь > знаменат-я или равен ему.

Дроби назыв-ся равными, если они выраж-т численное знач-е длины одного и того же отрезка при выбр-ой ед-це длины.

Рав-ва дробей явл-ся отнош-ем эквивалент-ти (рефлекс-но, симметрич., транзитив.).

Основное св-во дробей:

Если числит. и знаменат. дроби разделить или умножить на одно и то же число не равное 0, то получ-ся дробь равная данной.

Если числит. и знаменат. роби одновр-но делится только на ед-цу, то дробь несократимая.

Сократить дробь – значит заменить эту дробь ей равной, но с меньшим числит-м и знаменат-м.

Привести дроби к общему знаменат-ю – значит заменить дроби им равными, но с одинак-ым знаменат-м.

Положит-м рацион-м числом назыв-ся класс равных дробей, а кажд. дробь, принадл-щая этому классу, есть запись этого числа.

{1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 12/24,…} – положит-е рац-ое число, записью кот-го явл-ся кажд. из этих дробей.

Св-ва положит-х рацион-ых чисел:

1) Бесконечное мн-во.

2) Упорядоч-е мн-ва (т.е. м. задать отношение порядка: отнош-е больше)

3) Не содержит наим-го эл-та.

4) Облад-т св-вом плотности (т.е. м-у любыми 2мя положит-ми рацион-ми числами сущ-ет бесконеч. мн-во положит-х рацион-ых чисел).

Запись люб. натур-го числа в виде дроби.

Любое натур-ое число м. записать в виде дроби.

3=3/1=9/3=6/2 => люб. натур-е число есть положит-ое рац-ное (Q⁺).

NCQ⁺

Отнош-е «<» («>»)

Сравнение Q⁺ чисел:

Пусть a и b – положит-ые рацион-е числа. Считают, что число b < числа а, если сущ-ет такое положит-е рацион-е число с, что a=b+c.

Отнош-е рав-ва:

Если положит-е рацион-е число а представл. дробью m\n, а положит-е рацион-е число b –другой дробью p\q, то a=b тогда и только тогда, когда mp=nq.

Способы установл-я этих отношений.

I. a=m/n, b=p/n => (a>b)<=>(m>p)

II. a=m/n, b=m/q => (a>b)<=>(n<q)

III. a=m/n, b=p/q => (a>b)<=>(mq>np)

Подходы к трактовке понятия дроби в нач. курсе матем-ки.

10