4. Контрольные вопросы
Линейные операции над n-мерными векторами.
Скалярное произведение и длина n-мерных векторов.
Угол между n-мерными векторами.
Разложение вектора по системе векторов.
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
Векторная форма системы линейных уравнений.
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
5. Требования к отчету
Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, подробное описание получения решений заданий, доказательств, распечатку результатов проверки, анализ полученных результатов.
Отчет выполняется на листах формата А4 или в отдельной тетради.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Найти разложение вектора В по диагональной системе (упражнение 1).
Найти разложение вектора В по системе А1, А2, А3 (упражнение 2).
Найти разложение вектора В по векторам А1, А2, А3 (упражнение 3).
Разложить каждый вектор системы А1, А2, …, Аn по векторам этой системы.
Доказать, что если векторы В1 и В2 разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn, то векторы В1+В2, kB1, t1B1+t2B2 также разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn (k, t1, t2 – константы).
Доказать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным векторам этой системы.
Вектор В разлагается по системе векторов А1, А2, …, Аm. Доказать, что каждый вектор системы В+А1, В+А2,…, В+Аm разлагается по системе А1, А2, …, Аm.
Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 1
№ варианта |
Вектора А1, А2, А3, В |
||||
Упражнение 1 |
Упражнение 2 |
Упражнение 3 |
|||
В |
A1 A2 A3 |
B |
A1 A2 A3 |
B |
|
|
|
7 5 -3 4 |
0 0 1 1 0 1 0 1 1 |
1 3 0 |
-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2 |
1 1 1 4 |
|
|
-2 0 3 1 |
1 0 1 0 1 0 1 1 0 |
-2 1 1 |
-3 -1 5 5 2 3 5 2 1 2 1 2 |
-5 5 1 4 |
|
|
5 6 -3 2 |
1 -1 1 0 2 0 -2 2 0 |
0 4 1 |
-2 -2 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 3 1 4 |
|
|
-5 7 -1 0 |
1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 |
0 4 1 |
-1 0 -4 3 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-2 3 1 4 |
Окончание таблицы 1
№ варианта |
Вектора А1, А2, А3, В |
||||
Упражнение 1 |
Упражнение 2 |
Упражнение 3 |
|||
В |
A1 A2 A3 |
B |
A1 A2 A3 |
B |
|
|
|
4 -5 1 1 |
1 0 1 1 1 1 0 1 1 |
-2 5 1 |
-1 0 0 1 2 5 1 2 1 2 1 2 |
0 4 2 4 |
|
|
9 -10 3 1 |
1 0 1 0 0 1 0 1 0
|
-8 4 6 |
-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2 |
0 1 2 4 |
|
|
0 5 -12 8 |
1 0 1 1 1 2 0 1 0 |
0 6 2 |
-1 -1 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 3 1 4 |
|
|
9 -10 3 1 |
1 0 1 0 0 1 0 1 0 |
-8 4 6 |
-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2 |
0 1 2 4 |
|
|
1 2 -3 7 |
1 0 1 1 2 2 1 2 0 |
0 2 4 |
4 2 0 0 2 3 0 0 1 3 0 0 |
0 0 1 1 |
|
|
0 0 -1 8 |
1 0 1 1 1 3 0 1 3 |
-1 1 2 |
-1 0 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 3 1 2 1 |
0 3 1 4 |
|
|
-3 5 5 -4 |
2 0 1 1 4 2 0 5 0 |
6 6 0 |
-1 0 -2 0 2 3 0 2 2 2 1 2 |
-3 3 2 4 |
|
|
-2 0 -5 -1 |
5 0 1 1 4 3 0 5 1 |
10 2 0 |
1 4 4 0 1 3 2 1 4 0 1 0 |
-1 2 1 1 |
|
|
5 -6 -1 4 |
3 0 1 2 1 1 0 1 0 |
-1 0 2 |
-2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1 |
0 2 1 1 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Выяснить, является ли данная система векторов А1, А2, А3 линейно зависимой или линейно независимой:
А1, А2, А3 (упражнение 1a);
А1, А2, А3, А4 (упражнение 1b);
А1, А2, А3, А4 (упражнение 1c).
Доказать, что четыре вектора А1=(1,0,0), А2=(0,1,0), А3=(0,0,1), А4=(1,1,1) образуют линейно зависимую систему, но любые три из них линейно независимы.
Установить, что система векторов линейно зависима, если она содержит:
два равных вектора;
два пропорциональных вектора.
Дана линейно независимая система векторов А,В,С. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
А+В, В+С, С+А;
А+В, С-В, С+А.
Доказать, что два ненулевых n-мерных вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
Упражнения 1a, 1b, 1c выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.
Таблица 2
№ варианта |
Вектора |
||||
Упражнение 1а |
Упражнение 1b |
Упражнение 1с |
|||
A1 A2 A3 |
A1 A2 A3 |
А4 |
A1 A2 A3 |
А4 |
|
|
|
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0 |
1 1 1 4 |
-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2 1 1 1 |
1 1 1 4 4 |
|
|
1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0 |
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
-5 5 1 4 |
-3 -1 5 5 2 3 1 1 1 5 2 1 2 1 2 |
-5 5 1 2 4 |
Продолжение таблицы 2
|
|
1 -1 1 0 2 0 -2 2 0 -2 2 0 |
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
-3 3 1 4 |
-2 -2 -2 1 1 1 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 1 3 1 4 |
|
|
1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2 |
1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0 |
-2 3 1 4 |
-1 0 -4 3 2 3 0 2 0 0 2 1 2 1 2 |
-2 3 1 4 0 |
|
|
1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1 |
1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2 |
0 4 2 4 |
-1 0 0 1 2 5 0 2 0 1 2 1 2 1 2 |
0 4 5 -2 4 |
|
|
1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0 |
1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1 |
0 1 2 4 |
-1 0 0 1 2 3 0 2 1 1 4 2 2 1 2 |
0 1 2 4 3 |
|
|
0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 |
1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0 |
-3 3 1 4 |
-1 -1 -2 1 4 2 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 3 4 1 4 |
|
|
1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0 |
0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 |
0 1 2 4 |
-1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 2 |
0 1 2 4 1 |
|
|
1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0 |
1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0 |
0 0 1 1 |
4 2 0 1 1 2 0 2 3 0 0 1 3 0 0 |
0 0 -3 1 1 |
|
|
1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3 |
2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0 |
0 3 1 4 |
1 1 -2 0 2 1 0 5 0 0 1 0 2 1 1 |
0 3 2 1 4 |
Окончание таблицы 2
|
|
2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0 |
1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3 |
-3 3 2 4 |
-1 0 -2 0 5 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2 |
-3 0 3 2 4 |
|
|
5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1 |
3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2 |
-1 2 1 1 |
1 4 4 0 1 3 1 4 3 2 1 4 0 1 0 |
-1 2 3 1 1 |
|
|
3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2 |
5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1 |
0 2 1 1 |
1 4 3 -2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1 |
3 0 2 1 1 |