Задание 5. Спуск в атмосфере.
Известно, что предмет, сброшенный с высоты, ускоряется под действием силы тяжести лишь до тех пор, пока сила тяжести не сравняется с силой сопротивления воздуха. Затем скорость падения становится постоянной, и даже несколько замедляется по мере приближения к поверхности земли из-за увеличения давления и плотности воздуха.
Задание. Используя Excel, сделать имитационную модель движения сферического тела равномерной плотности, сбрасываемого в атмосфере при отсутствии ветра с нулевой начальной скоростью с некоторой высоты. Используя полосы прокрутки, предусмотреть варьирование массы тела в пределах от 10 до 100 кг, радиуса от 10 до 50 см, высоты сбрасывания от 300 до 1000 м.
Для расчетов использовать следующие соотношения:
Ускорение свободного падения принять постоянным, g=9,81 м/с2.
Силу
сопротивления воздуха определять по
эмпирической формуле:
.
Здесь CX – продольный аэродинамический коэффициент, который на скоростях до 0,5 скорости звука для сферического тела приблизительно равен 0,5. Таким его и принимаем в задаче.
SM – площадь миделя – площадь некоторого характерного сечения объекта, движущегося в воздушной среде. Для сферического объекта площадь миделя равна площади сечения, проходящего через центр сферы.
q
– скоростной
напор. Вычисляется по формуле:
,
где v
– скорость тела,
– плотность воздуха, зависящая от
высоты. Принять плотность воздуха на
поверхности Земли равной 1,25 кг/м3
и считать, что плотность изменяется
линейно в диапазоне заданных высот по
формуле
= 1,25 – 0,000175h,
где h
– высота над поверхностью.
Используя модель, определить установившиеся скорости падения и продолжительности падения тел со следующими значениями массы и диаметра: (100 кг/1 м), (50 кг/0,8 м); (50 кг/0,5 м) при сбрасывании с высоты 1000 м. Установившимися считать скорости, которые изменяются менее чем на 0,2 м/с за 1 секунду.
Комментарий к заданию. Для решения этой задачи нужно применить численное интегрирование (хотя в описанной постановке можно получить и аналитическое решение) и использовать управляющие элементы форм. См. комментарии к заданиям 4 и 3. Для удобства выделения участков с установившейся скоростью нужно добавить столбец для вычисления ускорения и применить к нему условное форматирование. Также нужно применить условное форматирование к столбцу высоты для выделения области отрицательных высот (лучше темным цветом), а применять в этой модели способы прекращения вычислений после достижения поверхности земли сложно и нецелесообразно. Величину шага по времени можно выбрать 0,2 с или 0,1 с.
При наибольшем диаметре и наименьшей массе и сбрасывании с высоты 1000 метров падение может продолжаться несколько более 250 секунд. Соответственно, нужно зарезервировать количество шагов интегрирования