Задание 3.2.

С делать таблицу 5 функций вида Asinfx, задав значение аргумента (x) в диапазоне от 0 до 10 с шагом 0,1. Значения f для каждого столбца функций установить, соответственно, 1, 3, 5, 7 и 9. Для первой функции установить A=1, для остальных функций предусмотреть ячейки для задания значения A. Предварительно установить в этих ячейках значения A, соответственно, 0.28, 0.12, 0.04 и 0.018. Построить еще один столбец, как сумму пяти синусоид. Построить график по первому последнему столбцам – по аргументу и столбцу суммы функций (см. рис.). Предусмотреть независимое включение и выключение любой из пяти синусоид, входящих в сумму.

Комментарий к заданию 3.2. Выбор нескольких вариантов из заданного набора можно делать с использованием управляющих элементов типа "флажок". В данном случае нужно иметь возможность включать и выключать любую из 5 синусоид, входящих в сумму. Чтобы обеспечить это, нужно добавить на рабочий лист пять управляющих элементов формы "флажок", назвав их, соответственно, х1, х3, х5, х7 и х9. Нужно связать их каждый со своей ячейкой (см. комментарий к заданию 3.1). В ячейках будет отображаться состояние флажка в виде логического значения ИСТИНА или ЛОЖЬ. Включение и выключение синусоид проще всего сделать, применяя функцию ЕСЛИ к ячейке, содержащей значение амплитуды.

Примечание к заданию 3.2. Представление периодической несинусоидальной функции в виде суммы синусоидальных функций с различной частотой, амплитудой и фазой может быть получено, например, с помощью преобразования Фурье. В задаче 3.2 с помощью пяти синусоидальных функций (гармоник) получена периодическая функция с почти трапециевидными импульсами. Причем, пятая синусоида имеет частоту в 9 раз выше, чем первая. На полученной при решении задачи модели, например, можно приблизительно представить, как будет выглядеть электрический сигнал с такой формой импульса и с частотой 1 МГц, если его передать по каналу с полосами пропускания от 1 до 9 Мгц, от 1 до 7 Мгц и т.д., или от 2 до 9 Мгц, от 3 до 7 Мгц и т.д. (отсечка нижних и/или верхних гармоник), с равномерным коэффициентом передачи по всему диапазону частот, или при пропускании через фильтры, подавляющие определенные частоты. Если к модели добавить регуляторы амплитуд в виде полос прокрутки, можно будет приблизительно моделировать пропускание трапециевидного сигнала по линии связи с коэффициентом передачи, различным для разных частот.

Задание 4. Численное интегрирование в Excel.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений и систем таких уравнений широко применяется в инженерных расчетах и моделировании. Суть численного интегрирования в том, что параметры расчетной модели (например, координаты, скорости и ускорения, или напряжения, токи и заряды) вычисляются путем повторения "шагов", и на каждом шаге новые значения параметров вычисляются на основании значений этих же и других параметров на предыдущем шаге. Существует много методов, различающихся объемом вычислений и точностью.

Очевидно, чем мельче каждый шаг, тем точнее должен быть результат. Однако, если точность вычислений параметров на каждом шаге невысокая, слишком мелкий шаг не повысит общую точность, так как будут проявляться погрешности округлений. Кроме того, чем больше шагов, тем больше объем вычислений.

Методы численного интегрирования, такие, как метод Эйлера, Рунге-Кутта, Кутта-Мерсона и др., для повышения точности используют вычисление координат состояния в промежуточных точках (между шагами интегрирования). Соответственно, различают двух-, трех-, четырех- и шеститочечные методы. Обычно используются трех- или четырехточечные методы.

Разработано множество программ, реализующих различные методы численного интегрирования. Некоторые из программ способны автоматически изменять величину шага таким образом, чтобы оптимизировать соотношение точности вычислений и объема расчетов. Однако использование этих программ требует знания языков программирования, на которых они написаны, и написания собственных фрагментов программ на этих языках.

До широкого распространения компьютеров численное интегрирование делалось вручную, при этом промежуточные результаты записывались на больших листах, расчерченных на ячейки, и очень похожих на рабочие листы Excel.Значит, те же вычисления можно делать и в Excel, но уже не вручную. В Excel точность представления вещественных чисел довольно высокая, что препятствует быстрому накоплению ошибок, поэтому даже самые простые численные методы дают неплохие результаты при достаточно малом шаге.

Задание. Сопоставить результаты и погрешности численного интегрирования дифференциального уравнения второго порядка простейшим методом прямоугольников для различного шага интегрирования с известным точным решением.

Уравнение для интегрирования:

Начальные условия: x(0) = 0; .

Решением такой системы при заданных начальных условиях является функция x(t)=sint. С этим решением и нужно сравнивать результаты численного интегрирования. Для этого нужно построить таблицу, первый столбец которой будет содержать 2000 значений аргумента t, начиная с нуля, с постоянным шагом, задаваемым в отдельной ячейке. Второй столбец должен содержать значения функции, являющейся решением дифференциального уравнения. Третий и четвертый столбцы – численное решение методом прямоугольников, пятый столбец – погрешности решения методом прямоугольников. Также нужно построить 2 графика. Один график должен отображать аналитическое и численное решения. Другой график должен отображать зависимости величин погрешностей численного интегрирования от значения аргумента. Сделать выводы: 1)характер погрешности – периодический или апериодический; 2) изменение погрешности по мере удаления от начальной точки интегрирования, 3) максимальная погрешность на первом и втором полупериодах синусоиды при шаге интегрирования 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; и 0,005, 4) максимальный шаг, при котором погрешность интегрирования на первом полном периоде синусоиды будет в пределах 1%.

Комментарий к заданию. В большинстве случаев для численного решения исходное дифференциальное уравнение или систему уравнений нужно преобразовать к нормальной форме (форме Коши). Сделаем это с заданным уравнением.

Введем переменные x₁ и x₂ (их называют координатами состояния) следующим образом: , . Теперь исходное уравнение можно записать в виде системы уравнений, в которой в левых частях будут производные первых порядков, а в правых частях – выражения для этих производных, которые сами не содержат производных.

Физический смысл: согласно введенным обозначениям, x₂ – это искомая функция x(t), x₁ – скорость изменения функции, а скорость изменения скорости (ускорение) – это первая производная по времени от x₁, которая, как видно из системы уравнений, равна значению искомой функции с противоположным знаком. Обозначим начальное значение времени t₀ (по условию равно нулю), промежуточное значение времени (на i-том шаге интегрирования) t_i, шаг интегрирования t, значения переменных интегрирования на i-том шаге, соответственно, x_1,i и x_2,i.

Численное интегрирование простейшим методом прямоугольников. Значение скорости на i-том шаге определяем как значение скорости на предыдущем, (i–1)-ом шаге, плюс ускорение, умноженное на приращение (шаг) независимой переменной, t. Значение функции на i-том шаге определяем как значение функции на предыдущем шаге плюс скорость, умноженная на шаг независимой переменной.

Есть одно препятствие в таком определении. Если в качестве текущего ускорения взять ускорение на i-том шаге (которое равно значению искомой функции с противоположным знаком), а в качестве текущей скорости взять скорость на i-том шаге, появятся две ячейки с циклическими ссылками. Циклические ссылки, в принципе, в Excel применимы для циклических вычислений, но такие вычисления нужно отдельно организовывать и описывать. При табличных вычислениях циклические ссылки могут образовывать вечные циклы, и потому запрещены. Поэтому для одной из координат состояния нужно использовать не текущее, а предыдущее значение. Можно использовать предыдущее значение для скорости и текущее – для ускорения (если сделать наоборот, в этой задаче результат будет таким же). Тогда координаты состояния на шаге i вычисляются следующим образом:

В соответствии с последним выражением нужно составить вычислительную таблицу, в которой столбец, соответствующий x₂ и будет решением. В первой строке таблицы, для времени t=0, нужно указать начальные значения координат состояния.