Объем генеральной совокупности и объем выборки
Возможно, вы до сих пор не обращали внимания на одно достаточно любопытное обстоятельство: объем генеральной совокупности не входит в формулу для определения объема выборки. С известной оговоркой (мы кратко остановимся на ней) объем выборки не зависит от объема генеральной совокупности.
На первый взгляд это утверждение представляется нелепым; однако при более внимательном рассмотрении оно становится самоочевидным. Если все элементы генеральной совокупности имеют одно и то же значение количественного признака (скажем, все наши рыболовы тратят на питание и проживание по $74 в год), то для определения среднего достаточно будет отобрать выборку, состоящую из одного-единственного элемента. При этом количество элементов в исходной совокупности может равняться 1000, 10000 или 100 000. Что действительно оказывает непосредственное влияние на объем выборки, так это степень изменчивости количественного признака.
Представим себе, что наш штат изобилует рыбой, привлекающей не только местных счастливчиков, но и рыболовов из других стран. Если Мы зададимся проблемой определения среднего расстояния, преодолеваемого рыболовами во время их туров, мы тут же увидим, сколь велик разброс значений этой величины. Чем выше степень изменчивости признака, тем большим должен быть размер выборки, обеспечивающей заданную точность обследования. Эта идея имеет не только словесное воплощение; она может быть выражена и в виде формул, позволяющих определить объем выборки, потребной для оценки генерального среднего. (См., например, уравнение 17.2). Итак, объем генеральной совокупности оказывает на объем выборки лишь опосредованное влияние, обусловленное изменчивостью элементов. В большинстве случаев с возрастанием объема исходной совокупности возрастает и потенциальная возможность увеличения изменчивости обследуемого количественного признака.
Объем выборки не зависит от объема генеральной совокупности и при оценке доли. Для доли определяющим фактором, как мы видели, является расчетная доля генеральной совокупности, обладающая данным признаком; чем ближе эта доля к 0,5, тем большей должна быть выборка, при этом ее объем не зависит от объема всей совокупности. Значение 0,5 соответствует максимальной изменчивости, поскольку половина генеральной совокупности обладает данным признаком, а половина не обладает им.
Процедуры, обсуждавшиеся нами ранее, прежде всего имели отношение к ситуациям, где целевая совокупность представляется, по сути, бесконечно большой. Таковы, например, обследования потребительских товаров. Тем не менее, когда мы приступали к обсуждению данной темы, мы предупреждали, что при обсуждении независимости объема выборки от объема генеральной совокупности следует сделать некоторую оговорку. В тех случаях, когда выборка представляет собой большую часть генеральной совокупности, во избежание переоценки выборки требуется некоторое изменение формул. Поскольку с возрастанием объема выборки возрастает и стоимость обследования, возникает необходимость ввода коэффициента поправки на конечность совокупности.
Как уже было показано ранее, в большинстве случаев мы можем использовать для определения среднеквадратической ошибки среднего следующую формулу
При введении же поправки на конечность совокупности формула принимает вид
где N — объем генеральной совокупности, а п — объем выборки.
Коэффициент (N—n)/(N— 1) носит название поправки на конечность совокупности.
Когда требуемая выборка составляет более 5% генеральной совокупности, ее расчетный объем должен быть уменьшен путем ввода в формулу поправки на конечность совокупности. Если, например, генеральная совокупность состоит из 100 элементов, а оценка требуемого объема выборки составляет 20 элементов, при использовании указанной поправки обследованию должно подлежать меньшее число элементов.
Требуемый объем выборки п' = пN/(N+п-1), где п — первоначальное, а п' — пересмотренное значение объема выборки. Так, для N=100 и п=20 на деле может обследоваться только 17 элементов.