Глава семнадцатая. Объем выборки
До сих пор наше изучение проектирования выборок ограничивалось их типами. Другим немаловажным моментом, требующим пристального рассмотрения, является проблема объема выборки. Если исследователь использует любую выборку, кроме последовательной, ему или ей необходимо определить ее потребный объем еще до начала обследования.
Начинающие исследователи порой полагают, что объем выборки определяется исключительно средствами клиента, но на деле вопрос сей куда более сложен. Помимо прочего, этот объем зависит от типа выборки,
изучаемой статистики, гомогенности генеральной совокупности, а также от наличных времени, средств и персонала. Мы представим важные статистические принципы, определяющие объем выборки, ограничиваясь рассмотрением простой случайной выборки и нескольких наиболее популярных статистик. Входить в более полное обсуждение настоящего предмета у нас нет возможности. Читателей, интересующихся проблемой определения объема выборки при стратифицированном или групповом отборе, мы отсылаем к стандартным руководствам по методам выборочного обследования. Те, кто хотел бы научиться оценивать по простой случайной выборке такие величины, как дисперсия генеральной совокупности, могут обратиться к менее серьезным пособиям по статистике. В каждом случае принципы остаются одними и теми же; изменяются же только формулы, зависящие как от плана выборочного обследования, так и от изучаемой статистики.
Основные принципы определения объема выборки
ТОЧНОСТЬ
Степень ошибочности результатов обследования или размер доверительного интервала. Абсолютная точность задается определенным интервалом, в котором должно находиться оцениваемое значение. Относительная точность определяется относительно уровня оценки параметра.
ДОСТОВЕРНОСТЬ
Степень уверенности в том, что оценка близка к истинному значению.
В том, что выборочное распределение статистики является основой для определения объема выборки, нет ничего удивительного. Вы должны помнить, что выборочное распределение статистики отражает изменение выборочной оценки как функции заданной выборки. Если исследователю известен размах выборочного распределения, можно определить величину ошибки, связанной с той или иной оценкой. Например, в главе 15 мы установили, что ошибка, связанная с оценкой генерального среднего по выборочному среднему, определяется среднеквадратической ошибкой среднего
или отношением среднеквадратического отклонения генеральной совокупности к квадратному корню из объема выборки при известной генеральной дисперсии, или
,
то есть отношением среднеквадратического отклонения выборки к квадратному корню из объема выборки при неизвестной генеральной дисперсии. Стало быть, главным фактором оценки объема выборки должна быть среднеквадратическая ошибка оценки, определяемая из заданного выборочного распределения статистики.
Не следует упускать из рассмотрения потребную точность оценки. Например, исследователь, занимающийся изучением среднего уровня доходов, может задать границы оценки в пределах ±100 долларов от истинного генерального значения. Он может задаться и меньшей точностью оценки, скажем, ±500 долларов. При оценке параметра генеральной совокупности мы вводим в рассмотрение понятие точности оценки, определяемой возможными отклонениями последней или размером доверительного интервала.
На требуемую точность сильно влияет важность решения, принимаемого на основе производимой исследователем оценки. Если от результатов обследования зависит судьба сотен миллионов долларов и сотен рабочих мест, точность оценки, очевидно, должна быть очень высокой, и, соответственно, ее погрешность должна быть очень малой. Абсолютная точность задается определенным интервалом, в котором должно находиться оцениваемое значение. Относительная точность соотносится с уровнем оценки параметра.
Еще одним фактором, влияющим на объем выборки, является заданная исследователем степень достоверности оценки. Для выборки фиксированного объема степень точности и степень достоверности являются связанными величинами. Возможно определить либо одну, либо другую, но никак не обе величины одновременно. Достижение заданной точности и заданной достоверности результата может быть достигнуто только при возможности варьирования объема выборки. На деле, определение объема выборки, использующее статистические принципы, предполагает достижение известного баланса между двумя этими принципами.
Для уяснения различия между точностью и достоверностью рассмотрим пример, в котором нам необходимо узнать средний уровень доходов в некоторой группе. Наиболее точной оценкой этого конкретного параметра являлась бы точечная оценка среднего, не имеющая сопряженных с ней пределов ошибки вследствие отсутствия оной. В нашем случае такая точечная оценка соответствовала бы значению $19243. Очевидно, эта точечная оценка в большинстве случаев будет неверной, и по этой причине мы не доверяем ей, несмотря на ее точность. С другой стороны, мы можем быть абсолютно уверены, что генеральное среднее находится в диапазоне между 0 и 1000000 долларов, хотя эта оценка слишком неточна для того, чтобы иметь хоть какой-то смысл.