6.1. Доказательство необходимого условия

Необходимым условием при доказательстве теоремы Пригожина является существование экстремума производства энтропии системы, находящейся в стационарном состоянии. Рассмотрим доказательство необходимого условия на конкретном примере.

Пусть на линейную систему действуют две силы и одинаковой тензорной размерности. Пусть система находится в состоянии стационарности первого порядка:

Чтобы отличать стационарное состояние системы от всех прочих, будем помечать параметры стационарного состояния чертой.

Для потоков данной системы можно записать линейные соотношения:

причём согласно принципу симметрии феноменологических коэффициентов

Производство энтропии рассматриваемой системы имеет вид:

Возьмём производную от производства энтропии по нефиксированной силе :

Однако мы условились, что в рассматриваемом стационарном состоянии поток, сопряжённый с силой , отсутствует:

Следовательно, в стационарном состоянии производство энтропии имеет экстремум. Таким образом, необходимое условие минимума производства энтропии в стационарном состоянии выполняется.

6.2. Доказательство достаточного условия

Мы доказали, что производство энтропии системы, находящейся в стационарном состоянии, имеет экстремум. Докажем теперь, что стационарное состояние, которому соответствует минимум производства энтропии, является устойчивым. Для доказательства будем использовать второй метод Ляпунова.

Рассмотрим функцию

(4.5)

описывающую разность производства энтропии в окрестности стационарного состояния системы и в самом стационарном состоянии . В стационарном состоянии функция  равна нулю:

Если стационарному состоянию соответствует минимальное производство энтропии

тогда в его окрестности функция  будет положительна:

Таким образом, функция  (4.5) является функцией Ляпунова.

Рассмотрим производную от функции . Если производство энтропии системы в стационарном состоянии минимально, то в окрестности стационарного состояния имеем:

(4.6)

Следовательно,

так как

Таким образом, знак функции Ляпунова  (4.5) противоположен знаку её производной. Следовательно, стационарное состояние системы устойчиво.

Отметим, что всё сказанное справедливо только для линейных систем, т.е. вблизи равновесия. Условие (4.6) указывает, в каком направлении развивается эволюция физико-химической системы, находящейся вблизи равновесия. Таким образом, теорема Пригожина является критерием эволюции для линейных систем: внутренние неравновесные процессы всегда протекают в направлении, уменьшающем производство энтропии системы.

7. Определение диаметра включения, устойчивого к дроблению

7.1. Постановка задачи

Рассмотрим аппарат дробления, в котором происходит процесс измельчения твёрдых включений. Движущая сила процесса дробления имеет вид:

(4.7)

где d – диаметр включений; – истинная плотность материала включений;  – сила поверхностного натяжения; – скорость обтекания,  – удельная мощность на перемешивание.

Второе слагаемое в правой части выражения (4.7) характеризует внешнюю силу давления, действие которой приводит к разрыву связей между молекулами включений и их измельчению. Первое слагаемое – внутреннюю силу связи между молекулами включений, препятствующую измельчению. Для осуществления процесса дробления включений второе слагаемое должно быть больше первого по абсолютной величине. С уменьшением размера включений, как видно из (4.7), второе слагаемое уменьшается больше первого, что необходимо компенсировать увеличением внешних затрат энергии (значения ), иначе процесс остановится. Как определить размер включений, устойчивый к дроблению при заданных условиях?

Прекращение измельчения включений можно рассматривать, как установление в аппарате дробления стационарного состояния. Следовательно, для решения поставленной задачи можно использовать принцип минимума производства энтропии Пригожина.

Получим выражение для производства энтропии процесса дробления включений. Поскольку в данной системе только одна сила (4.7) зависит от диаметра включений, то остальные необратимые процессы можно не учитывать. Следовательно, поток процесса дробления для состояний вблизи равновесия определяется по формуле:

а производство энтропии системы (точнее, её составляющая, зависящая от диаметра включений) имеет вид: