1.1 Определение скоростей

Линейную скорость точки А вычислим по формуле:

V_A= ω₁ * l_OA.

Подставим числовые значения, получим:

V_A =10*0,1 = 1 м/с.

Вектор скорости Va перпендикулярен звену OA и направлен в сторону угловой скорости ω₁.

Выберем масштаб плана скоростей:

µ_v =

где p_v - полюс плана скоростей ( Приложение 16);

p_va - отрезок в миллиметрах, изображающий вектор скорости точки А.

Зададим р_уа = 100 мм, тогда ;

µ_v = = 0,01 м*с^-1 /мм.

Запишем векторные уравнения движения ^точки В относительно внешних точек А и Во группы Ассура в виде скоростей:

V_b = V_a+V_ba;

V_b=V_B0 + V_bb0,

где V_ba - скорость точки В относительно точки А. Вектор V_ва направлен перпендикулярно звену АВ;

V_b0 - скорость проекции точки В на стойку; Vв₀ = 0;

V_bbo - скорость точки В относительно точки Во. Вектор Vвв₀ - направлен по направляющей поршня.

Скорость точки В определим в результате графического решения векторных уравнений. Для этого из полюса плана скоростей отложим

вектор p_va=100 мм (Приложение 1). Затем через точку а проведем прямую, перпендикулярную звену АВ, а из полюса р_v прямую, параллельную движению поршня. Точка пересечения этих прямых (точка b) является решением векторных уравнений скорости V_b.

Скорость центра масс V_S3 поршня равняется скорости точки В. Следовательно, на плане точка s₃ совпадает с точкой b. Скорость центра масс шатуна Vs2 определим по правилу подобия из соотношения:

Vs_2A=V_AB*l_AS2/l_AB

или на плане скоростей:

s₂a=ab*AS₂/AB,

s₂a=71*80/160=35,5 мм.

Отметим точку s₂ на плане (Приложение 1). Соединим прямой точку s₂ с полюсом Pv, получим вектор (P_VS₂), изображающий скорость центра масс шатуна на плане скоростей.

Построенный план скоростей позволяет определить линейные скорости всех точек и угловую скорость шатуна. Например, скорость точки В и центра масс поршня:

V_в=V_s3=(Рvb)µ_v

Подставим значения, получим:

V_в=V_s3=67,01*0,01=0,67 м/с.

Аналогично определим скорость V_S2 центра масс шатуна и относительную скорость V_BА

V_s2=(РvS₂)µ_v

V_ВА=(ab)µ_v

После подстановки значений, имеем:

V_S2 =77,1*0,01 = 0,77 м/с;

V_BA =71-0,01 = 0,71 м/с.

Угловую скорость шатуна определим По формуле:

ω₂=V_BA/l_AB.

Подставим значения, получим:

ω₂=0,71/0,4=1,77 с^-1.

Направление угловой скорости ω₂ определяется вектором

относительной скорости V_ва. Следовательно, в исследуемом положении механизма шатун вращается по часовой стрелке.

1.2 Определение ускорений

Линейные ускорения точек механизма и угловое ускорение шатуна определим графоаналитическим методом. Для этого построим план ускорений аналогично построенному плану скоростей.

Определим ускорение точки А по векторному уравнению:

a_A=a₀+aⁿ_AO+a^t_AO

где a₀ - ускорение точки О. Так как точка О принадлежит стойке, то а₀ = 0;

аⁿ_AO - нормальное (центростремительное) ускорение точки А, относительно точки О.

Величину ускорения аⁿ_AO определим по формуле

аⁿ_AO=ω₁²*l_OA

Подставим значения, получим:

аⁿ_AO=100*0,1 = 10 м/с².

Вектор аⁿ_AO направлен от точки А к точке О.

а^t_AO - касательное (тангенциальное) ускорение точки А относительно

точки О.

Величину ускорения а^t_AO вычислим по формуле:

а^t_AO=ε₁²*l_OA

Подставим значения, получим:

а^t_AO=5*0,1=0,5 м/с².

Вектор ало направлен перпендикулярно звену OA в сторону углового ускорения ε₁.

Выберем масштаб плана ускорений:

µ_a =

где n_AO - отрезок в миллиметрах, изображающий вектор ускорения aⁿ_AO. Пусть n_AO = 100 мм, тогда: V^х

µ_a = 10/100=0,1 м*с^-2/мм

Из полюса плана ускорений р_а (Приложение Б) отложим вектор

n_AO =100 мм. К концу вектора прибавим вектор t_AО, величину которого определим из выражения:

t_AО = а^t_AO/ µ_a

Подставим значения, получим:

t_AО=0,5/0,1=5 мм.

Конец вектора t_AO обозначим буквой а. Соединим прямой полюс р_а с точкой а. Полученный вектор (р_аа) изображает вектор полного ускорения точки А. Поэтому ускорение точки А можно вычислить:

a_A=(P_aa)* µ_а

В нашем примере:

а_А =100*0,1 = 10 м/с².

Полное ускорение точки А практически совпадает с нормальным ускорением аⁿ_АО. Это объясняется относительно малым касательным ускорением а^t_АО.

Точную величину ускорения точки А можно вычислить по формуле:

а_А=

После подстановки значений, имеем:

а_А= =10,01 м/с².

Составим векторные уравнения движения точки В в виде ускорений:

а_в=а_А+аⁿ_ВА+а^t_ВА

а_в = а_во + а^k_вво + а^r_вво,

где а_ВА - нормальное ускорение точки В относительно точки А. Величину ускорения а_ВА вычислим по формуле:

аⁿ_ВА=ω₂²*l_АВ

Подставим значения, получим:

аⁿ_ВА=3,10*0,4=1,24 м/с²

Ускорение аⁿ_ВА на плане представим в виде вектора n_BA. Вектор n_BA направлен от точки В к точке А. Длину вектора определим из выражения:

n_BA= аⁿ_ВА/ µ_а

После подстановки числовых значений, имеем:

n_BA=1,24/0,1=12,42 мм.

Прибавим вектор n_BA к точке а плана (Приложения А, рисунок 1). Через конец вектора n_BA проведем прямую линию, перпендикулярную звену АВ. Эта прямая является линией действия касательного ускорения а^t_ВА.

Ускорение а_во = 0, так как точка В₀ принадлежит стойке.

Ускорение Кориолиса а^к_вво определим по формуле:

а^к_вво = 2*( ω₀-V_bbo).

Так как стойка не вращается, то ω₀= 0. Следовательно а^к_вво = 0.

Вектор относительного ускорения а^r_вво направлен по линии движения поршня.

Таким образом, второе векторное уравнение на плане ускорений представим прямой, параллельной направляющей ползуна и проходящей

через полюс р_а. Пересечение этой прямой с линией действия ускорения а^t_ВА

обозначим буквой b (Приложение А, рисунок 1в) Ускорение центра масс S₃ поршня равно ускорению точки В. Поэтому точка S₃ совпадает с точкой b. Ускорение центра масс а_s2 шатуна определим по правилу подобия из соотношения:

s₂a=ab*AS₂/AB;

s₂a=74,5*80/160=37,25 мм.

Отметим точку s₂ на плане (Приложение А, рисунок 1в). Соединим прямой точку s₂ с полюсом р_а. Полученный вектор (p_as₂) изображает ускорение центра масс шатуна.

Воспользуемся построенным планом ускорений и определим ускорения точек и угловое ускорение шатуна.

Ускорение точки В и центра масс поршня определим из выражения:

a_B=a_s3=(P_ab)* µ_а.

Подставим числовые значения, получим:

a_B=a_s3=58,61*0,1=5,86 м/с².

Аналогично вычислим ускорение центра масс шатуна:

a_s2=(P_aS₂)* µ_а;

a_s2=72,9*0,1=7,29 м/с².

Полное относительное ускорение a_BA и касательную составляющую a^t_BA вычислим по формулам:

a_ВА=(ab)* µ_а;

a^t_BA=t_BA* µ_а.

После подстановки числовых значений, получим:

a_ВА=74,7* 0,1=7,47 м/с²;

a^t_BA=73*0,1=7,3 м/с².

Угловое ускорение шатуна вычислим по формуле:

(25)

ε₂= a^t_BA/l_AB.

Подставим числовые значения, получим:

ε₂=7,3/0,4=18,25 с^-2.

Направление углового ускорения шатуна определяется вектором касательной составляющей a^t_BA. В нашем примере угловое ускорение шатуна направлено по часовой стрелке.

В результате проведенного кинематического анализа определили численные значения скоростей и ускорений, а также направления их векторов. Полученные значения линейных скоростей точек и угловых скоростей звеньев занесем в таблицу 1.

Линейные скорости точек					Угловые скорости звеньев
Va	Vb	Vs3	Vs2	Vba	ω1	ω2
м/с					с-1
1	0,67	0,67	0,77	0,71	10	1,76

Таблица 1 – Значения скоростей точек и звеньев механизма.

В таблице 2 представлены значения линейных ускорений точек и угловые ускорения звеньев кривошипно-ползунного механизма в исследуемом положении.

Линейные ускорения точек										Угловые ускорения звеньев
aA	anAO	atAO	aB	as3	as2	anBA	atBA	aBA	ε1		ε2
м/с2										с-2
10,01	10	0,5	5,8	5,8	7,29	1,24	7,3	7,45	5		18,25

Таблица 2.