- •17. Случайные величины.
- •17.1. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •17.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •17.3. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •17.5. Непрерывные случайные величины.
- •Функция распределения непрерывной случайной величины.
- •Плотность вероятности.
- •17.6. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин.
- •18. Основные законы распределения.
- •18.1. Биноминальный закон распределения.
- •18.2. Закон распределения Пуассона.
- •18.3. Геометрическое распределение.
- •18.4. Гипергеометрическое распределение.
- •1 8.5. Равномерный закон распределения.
- •18.6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •18.7. Нормальный закон распределения.
18. Основные законы распределения.
18.1. Биноминальный закон распределения.
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями , где , , .
Биноминальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, , а ее дисперсия .
Биноминальный закон распределения используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и др.
Пример. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения числа мальчиков в семье. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.
, , ,
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,0268 |
0,1425 |
0,3026 |
0,3213 |
0,1706 |
0,0362 |
18.2. Закон распределения Пуассона.
Д искретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, …, т, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , где .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е. , .
При, , , закон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального закона. Так как при этом вероятность наступления события в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.
18.3. Геометрическое распределение.
Дискретная случайная величина Х = т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, т, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , где , , .
Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р равно , а ее дисперсия .
18.4. Гипергеометрическое распределение.
Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, 3, …, min (n, M) с вероятностями , где , , ; N, M, n – натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина – число объектов, обладающих заданным свойством, среди п объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, M из которых обладают следующим свойством.
Гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биноминального распределения для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из которых обладают этим свойством.
При функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биноминального распределения.
1 8.5. Равномерный закон распределения.
Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть
математическое ожидание , а дисперсия