§ 4. Логарифмическое дифференцирование
Лемма. Если дифференцируема в точке , то дифференцируема в точке .
Доказательство.
Представим функцию следующим образом: и применим теорему о дифференцируемости сложной функции. Внутренняя функция дифференцируема в точке по условию леммы, внешняя функция дифференцируема всюду в , следовательно, сложная функция дифференцируема в точке , причем
степенной функциям.
1) .
- дифференцируемая в функция, причем
.
Итак, для любого .
2) . .
Пусть и дифференцируемы в точке . Тогда дифференцируема в точке , а значит и дифференцируема в точке . Следовательно, дифференцируема в точке , причем
Следовательно:
Итак: производная от показательно-степенной функции равна сумме производной от этой функции, рассматриваемой как сложная показательная функция, и производной от этой функции, рассматриваемой как сложная степенная функция.
Примеры.
1) , .
2)
§ 5. Касательная и производная
В этом параграфе мы рассмотрим геометрический смысл производной.
Определение 1. Касательной к плоской кривой в точке называется прямая , проходящая через точку и такая, что отрезок есть величина бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем отрезок , т.е. при .
Лемма. Прямая является касательной к кривой в точке тогда и только тогда, когда угол при , .
Доказательство.
1) Пусть - касательная к в точке , т.е. по определению 1 при . Но при . Т.к. и при , то по теореме о пределе «под конвоем» при .
2) Пусть при . Требуется доказать, что прямая является касательной к кривой в точке . Действительно, при . Следовательно по определению 1 прямая является касательной к кривой в точке .
Рассмотрим связь между возможностью провести касательную к графику функции в некоторой точке и дифференцируемостью в этой точке.
Теорема 1. Если дифференцируема в точке , то к графику функции в точке можно провести невертикальную касательную с угловым коэффициентом .
Доказательство.
По условию теоремы дифференцируема в точке , т.е.
, где .
Требуется доказать, что прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент является касательной к графику функции в этой точке. Заметим, что уравнение такой прямой имеет вид:
Покажем, что при . Имеем , , , . Тогда:
Оценим отношение: при .
Итак, при . Т.о. доказано, что уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке имеет вид
.
Теорема 2. Пусть непрерывна в точке и к графику функции в точке можно провести невертикальную касательную. Тогда дифференцируема в точке и совпадает с угловым коэффициентом касательной.
Доказательство.
Для доказательства дифференцируемости функции в точке достаточно показать, что .
Рассмотрим (1)
Очевидно, что , а углы и зависят от . Т.к. - касательная, то угол при (по лемме). , как внешний угол треугольника. Следовательно, .
Угловой коэффициент касательной : .
Угловой коэффициент секущей : .
Т.к. касательная не является вертикальной, то . Функция не определена в точке (т.к., если , то секущей нет). Доопределим в точке по непрерывности, т.е. положим .
Рассмотрим теперь сложную функцию .
Функция непрерывна в точке и ; функция непрерывна в точке . Следовательно, функция непрерывна в точке и . Отсюда с использованием (1) следует, что
т.е. дифференцируема в точке , причем (2)
Если уравнение касательной имело вид , то с учетом (2), получаем уравнение невертикальной касательной в виде:
Тогда уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:
Из теорем 1 и 2 следует геометрический смысл производной функции в точке: вычислить значение производной функции в точке означает найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Примеры.
1) . Уравнение касательной в точке имеет вид , т.е. .
2) . Найдем угол пересечения графика с осью .
Возьмем , , , .
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .
Аналогично в точке , , .
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .
3) . Найдем угол пересечения графика с осью .
, , , .
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , т.е. . Т.о., , т.е. искомый угол: .
Замечание (о вертикальных касательных).
Рассмотрим . не определена в точке , т.е. не дифференцируема в точке .
Вычислим
Если учесть, что в точке касательная к графику рассматриваемой функции вертикальна и положить , то можно расширить понятие производной.
Определение 2. Мы скажем, что функция имеет в точке бесконечную производную, если (или ).
В таком случае, если касательная к графику функции в точке вертикальна, то геометрический смысл производной сохраняется (она совпадает с угловым коэффициентом касательной).
Если рассмотреть функцию , то здесь
Здесь в точке бесконечная производная не существует.