§3. Правила дифференцирования
Операцию отыскания производной функции будем называть дифференцированием функции.
Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в точке , то функции , , дифференцируемы в точке , причем:
1)
2) ,
3) .
Доказательство.
По теореме 2 §2 достаточно показать существование производных функций , , .
Из дифференцируемости функций и в точке следует, что:
1) Рассмотрим разностное отношение:
Т.к. существует правой части, то существует предел левой части, причем эти пределы равны. Т.о., имеем:
И учитывая определение производной функции в точке, окончательно получаем:
.
2) Рассмотрим разностное отношение:
Т.к. функция дифференцируема в точке , то непрерывна в этой точке и, следовательно:
Учтем этот факт и перейдем к пределу в обеих частях полученного выше равенства при , получим:
Учитывая определение производной функции в точке, окончательно получаем:
3) а) Рассмотрим сначала случай, когда .
Преобразуем соответствующее разностное отношение:
Результат предельного перехода:
б) пусть теперь . Применим правило дифференцирования произведения, учитывая, что:
Получим:
Следствия.
1. Если функции дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемыми будут являться следующие функции:
2. Если дифференцируема в точке и , то функция также дифференцируема в точке , причем .
3. Любая линейная комбинация дифференцируемых в некоторой точке функций есть дифференцируемая в этой точке функция.
4. .
5. .
6. .
7. .
Примеры.
1. . Учитывая, что и используя правило дифференцирования частного, нетрудно получить, что .
. Аналогично можно доказать, что если , то .
3. Многочлен дифференцируем в .
4. Рациональная функция дифференцируема всюду в , где знаменатель не равен нулю.
Теорема 2 (дифференцируемость сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство.
1. Докажем, что является неизолированной точкой множества , т.е. что . Пусть дана окрестность и , тогда , т.к. является неизолированной точкой . Следовательно, является неизолированной точкой множества .
2. Для доказательства дифференцируемости функции в точке достаточно доказать существование . для этого рассмотрим разностное отношение .
Функция дифференцируема в точке , следовательно:
(1)
где при и .
Т.к. – неизолированная точка , то и . Подставим и в (1):
Поделим обе части равенства на :
Т.к. функция дифференцируема в точке , то
Рассмотрим . Т.к. функция дифференцируема в точке , то функция непрерывна в этой точке и
Следовательно, предел правой части полученного выше равенства существует, а значит существует и предел левой части, т.е.
Откуда окончательно получим:
.
Замечание.
Если , то производную вычисляют по правилу:
Примеры.
1.
2.
3.
Теорема 3 (о дифференцируемости обратной функции). Пусть инъективная функция, дифференцируемая в точке , и . Если обратная функция непрерывна в точке , то дифференцируема в точке и .
Доказательство.
Из того, что - неизолированная точка следует, что - неизолированная точка . Покажем, что .
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Очевидно, функция непрерывна в точке , т.к.
Докажем, что
Вычислим:
следовательно
Вычислим: .
непрерывна в точке по условию теоремы, непрерывна в точке . Значит, непрерывна в точке . Тогда:
Следовательно, существует предел
А значит, существует предел
или , что и требовалось доказать.
Последнюю формулу можно переписать в виде:
Примеры.
1. , при . Обратную функцию рассмотрим для различных .
Пусть . Тогда инъективна и дифференцируема, обратная функция непрерывна в и, следовательно, дифференцируема при .
Итак,
Пусть . Рассмотрев сужение функции на можно провести рассуждения, аналогичные приведенным выше.
2) , .
Итак, имеем:
3) , .
при . Следовательно, . .
Если , то .
4) Найдем .
инъективна, следовательно, существует обратная функция . дифференцируема в и . Обратная функция непрерывна в , следовательно, дифференцируема в и
Итак, .
Аналогично, можно доказать, что .
Следствия.
1. . Действительно:
2. . Действительно:
5) – инъективна и дифференцируема на , в . Обратная функция непрерывна на , следовательно, - дифференцируема в и
Итак, .
6) Известно, что . Следовательно,
7) . По теореме 3 обратная функция дифференцируема в и
Итак, .
Можно доказать, что , .