Лабораторна робота № 4. Елементарні методи розв’язання ігор

Мета роботи. Ознайомитися з методами розв’язання невеликих за розмірами задач теорії ігор

Основний теоретичний матеріал

Якщо гра т х п не має сідлової точки, то знаходження розв’язання є взагалі досить важке завдання, особливо при великих т и п.

Іноді це завдання вдається спростити, якщо попередньо зменшити число стратегій шляхом викреслювання деяких зайвих. Зайві стратегії бувають: а) дублюючі; б) свідомо невигідні. Розглянемо наприклад гру з матрицею (рис.4.1):

Рис. 4.1.

Неважко переконатися, що стратегія у точності повторює («дублює») стратегію тому будь-яку із цих двох стратегій можна викреслити.

Д алі, порівнюючи членами рядки і , бачимо, що кожний елемент рядка , менше (або дорівнює) відповідного елемента рядка . Очевидно, що ми ніколи не повинні користуватися стратегією А₂; вона є свідомо невигідною. Викреслюючи А₃ і А₂,

Рис.4.2.

приводимо матрицю до більше простого виду (рис. 4.2.). Далі зауважуємо, що для супротивника стратегія В₃ свідомо невигідна; викреслюючи її, приводимо матрицю до остаточного виду (рис. 4.3). Таким чином, гра 4 х 4 викреслюванням дублюючих і свідомо невигідних стратегій зведена до гри 2 х 3.

Р ис. 4.3.

Процедура викреслювання дублюючих і свідомо невигідних стратегій завжди повинна передувати розв’язанню гри.

Найбільш простими випадками кінцевих ігор, які завжди можна вирішити елементарними способами, є ігри 2 х 2 і 2 х m.

Розглянемо гру 2 х 2 з матрицею:

Рис.4.4.

Тут можуть зустрітися два випадки: 1) гра має сідлову точку; 2) гра не має сідлової точки. У першому випадку розв’язання очевидно: це пари стратегій, що перетинаються в сідловій точці. Помітимо до речі, що в грі 2 х 2 наявність сідлової точки завжди відповідає існуванню свідомо невигідних стратегій, які повинні бути викреслені при попередньому аналізі.

Нехай сідлової точки немає й, отже, нижня ціна гри не дорівнює верхній: . Потрібно знайти оптимальну змішану стратегію гравця А:

Вона відрізняється такою властивістю: які б не були дії супротивника (якщо тільки він не виходить за межі своїх «корисних» стратегій), виграш буде дорівнювати ціні гри . У грі 2х2 обидві стратегії супротивника є «корисними», - інакше гра мала б розв’язання в області чистих стратегій (сідлову точку). Виходить, якщо ми дотримуємося своєї оптимальної стратегії , то супротивник може користуватися будь-якою з своїх чистих стратегій , не змінюючи середнього виграшу . Звідси маємо два рівняння:

(4.1)

з яких, беручи до уваги, що , одержимо:

(4.2)

Ціну гри ν знайдемо, підставляючи значення у будь-яке з рівнянь (4.1).

Якщо ціна гри відома, то для. визначення оптимальної стратегії супротивника досить одного рівняння, наприклад:

,

звідки, з огляду на, що , маємо:

.

Приклад 4.1. Два гравці А і В, не дивлячись один на одного, кладуть на стіл по монеті нагору гербом або нагору цифрою, за своїм розсудом. Якщо гравці вибрали однакові сторони (в обох герб або в обох цифра), то гравець А забирає обидві монети; інакше їх забирає гравець В. Потрібно проаналізувати гру й скласти її матрицю.

Рис. 4.5.

Гра не має сідлової точки ( ), і, отже, розв’язання повинне лежати в області змішаних стратегій:

,

Потрібно знайти і .

Для маємо рівняння

,

звідки .

Аналогічно знайдемо:

.

Отже, оптимальна стратегія для кожного з гравців полягає в тому, щоб випадковим образом чергувати обидві свої чисті стратегії, користуючись однаково часто кожною з них; при цьому середній виграш буде дорівнює нулю.

Отриманий висновок був досить ясний заздалегідь. У наступному прикладі ми розглянемо більше складну гру, розв’язання якої не є настільки очевидним. Приклад являє собою елементарний зразок ігор, відомих за назвою ігор з «обманом» або «введенням в оману». На практиці в конфліктних ситуаціях часто застосовуються різні способи введення супротивника в оману (дезінформація, розміщення помилкових цілей і т.д.). Приклад, незважаючи на свою простоту, досить повчальний.

Приклад 4.2. Гра полягає в наступному. Є дві карти: туз і двійка. Гравець А навмання виймає одну з них; В не бачить, яку карту він вийняв. Якщо А вийняв туза, він заявляє: «у мене туз», і вимагає в супротивника 1 гривню. Якщо А вийняв двійку, то він може або ) сказати «у мене туз» і зажадати в супротивника 1 гривню, або ) зізнатися, що в нього двійка, і сплатити супротивникові 1 гривню.

Супротивник, якщо йому добровільно платять 1 гривню, може тільки прийняти її. Якщо ж у нього зажадають 1 гривню, то він може або ) повірити гравцеві А, що в нього туз, і віддати йому 1 гривню, або В₂) зажадати перевірки для того, щоб переконатися, чи вірно твердження А. Якщо в результаті перевірки виявиться, що в А дійсно туз, В повинен сплатити А 2 гривні. Якщо ж виявиться, що А обманює й у нього двійка, гравець А сплачує гравцеві В 2 гривні.

Потрібно проаналізувати гру й знайти оптимальну стратегію кожного із гравців.

Розв’язання. Гра має порівняно складну структуру; вона складається з одного обов'язкового випадкового ходу — вибору гравцем А однієї із двох карт — і двох особистих ходів, які, однак, необов'язково здійснюються. Дійсно, якщо А вийняв туза, то він не робить ніякого особистого ходу: йому надана тільки одна можливість — зажадати 1 гривню, що він і робить. У цьому випадку особистий хід — вірити або не вірити (тобто платити або не платити 1 гривню,) — передається гравцеві В. Якщо А в результаті першого випадкового ходу одержав двійку, то йому надається особистий хід: сплатити 1 гривню або спробувати обдурити супротивника й зажадати 1 гривню (коротше: «не обманювати» або «обманювати»). Якщо А вибирає перше, то В залишається тільки прийняти 1 гривню; якщо А вибрав друге, то гравцеві В надається особистий хід: вірити чи не вірити А (тобто сплатити А 1 гривню або вимагати перевірки).

Стратегії кожного із гравців являють собою правила, що вказують, як діяти гравцеві, коли йому надається особистий хід.

Очевидно, в А тільки дві стратегії:

А₁ — обманювати, А₂ — не обманювати.

У В— теж дві стратегії:

Β₁·—вірити, В₂ — не вірити.

Побудуємо матрицю гри. Для цього обчислимо середній виграш при кожній комбінації стратегій.

1. A₁B₁ (А обманює, В вірить).

Якщо А одержав туза (імовірність цього -1/2), то йому не надається особистого ходу; він вимагає 1 гривню, і гравець В вірить йому; виграш А в гривнях дорівнює 1.

Якщо А одержав двійку (імовірність цього теж –1/2), він відповідно до своєї стратегії обманює й вимагає 1 гривню; В йому вірить і сплачує; виграш А також дорівнює 1. Середній виграш:

2. (А обманює, В не вірить).

Якщо А одержав туза, у нього немає особистого ходу; він вимагає 1 гривню; В згідно своїй стратегії не вірить і в результаті перевірки сплачує 2 гривні (виграш А дорівнює - +2).

Якщо А одержав двійку, він відповідно до своєї стратегії вимагає 1 гривню; В, відповідно до своєї, не вірить; у результаті А сплачує 2 гривні (виграш А дорівнює -2). Середній виграш дорівнює:

3. (А не обманює, В вірить).

Якщо А вийняв туза, він вимагає 1 гривню; В згідно своїй стратегії сплачує; виграш А дорівнює +1. Якщо А вийняв двійку, він відповідно до своєї стратегії платить 1 гривню; В залишається тільки прийняти (виграш А дорівнює -1). Середній виграш дорівнює:

4. (А не обманює, У не вірить).

Якщо А вийняв туза, він вимагає 1 гривню; В перевіряє й у результаті перевірки сплачує 2 гривні (виграш дорівнює +2).

Якщо А вийняв двійку, він сплачує 1 гривню; В залишається тільки прийняти (виграш дорівнює -1).

Середній виграш дорівнює:

.

Будуємо матрицю гри (рис.4.6).

Рис.4.6.

Матриця не має сідлової точки. Нижня ціна гри , верхня ціна гри . Знайдемо розв’язання гри в області змішаних стратегій. Застосовуючи формулу (4.2), одержимо:

тобто гравець А повинен в одній третині всіх випадків користуватися своєю першою стратегією (обманювати), а у двох третинах — другої (не обманювати). При цьому він буде вигравати в середньому ціну гри .

Значення свідчить про те, що в даних умовах гра вигідна для А и невигідна для В. Користуючись своєю оптимальною стратегією, А завжди може собі забезпечити позитивний середній виграш.

Помітимо, що, якби А користувався своєї найбільш обережною (максимінною) стратегією (у цьому випадку обидві стратегії й є максимінними), він мав би середній виграш, що дорівнює нулю. Таким чином, застосування змішаної стратегії дає А можливість реалізувати своя перевагу над В, що виникає при даних правилах гри.

Визначимо оптимальну стратегію В. Маємо:

звідки , тобто гравець В повинен в одній третій всіх випадків вірити А і виплачувати йому 1 гривню без перевірки, а в двох третіх випадків – перевіряти. Тоді він буде в середньому на кожну гру програвати . Якби він користувався своєю мінімаксною чистою стратегією (не вірити), він кожну гру програвав би в середньому .

Розв’язанню гри 2 х 2 можна дати просту геометричну інтерпретацію. Нехай маємо гру 2 х 2 з матрицею, яка наведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Візьмемо проміжок осі абсцис одиничної довжини (рис.4.8). Лівий кінець проміжку (точка ) відображатиме стратегію ; правий кінець проміжку ( ) - стратегію . Проведемо через точки і два перпендикуляри до осі абсцис: вісь і вісь . На осі будемо відкладати виграші при стратегії ; на осі будемо відкладати виграші при стратегії . Розглянемо стратегію супротивника ; вона дає дві точки на осях і з ординатами відповідно і . Проведемо через ці точки пряму . Якщо ми при стратегії супротивника будемо застосовувати змішану стратегію , то наш середній виграш, рівний у цьому випадку , зобразиться точкою Μ на прямій ; абсциса цієї точки дорівнює . Пряму , яка відображає виграш при стратегії , будемо умовно називати «стратегією ».

Очевидно, точно таким же способом може бути побудована й стратегія В₂ (рис. 4.8).

Нам потрібно знайти оптимальну стратегію , тобто таку, для якої мінімальний виграш (при будь-якому поводженні В) обертався б у максимум. Для цього побудуємо

Рис. 4.8.

нижню границю виграшу при стратегіях , тобто ламану , відзначену на рис 4.8 жирною лінією. Ця нижня границя буде виражати мінімальний виграш гравця А при будь-яких його змішаних стратегіях; точка Ν, у якій цей мінімальний виграш досягає максимуму, і визначає розв’язання й ціну гри. Неважко переконатися, що ордината точки N є ціна гри ν, а її абсциса дорівнює р₂ — частоті застосування стратегії А₂ в оптимальній змішаній стратегії .

У нашім випадку розв’язання гри визначалося точкою перетину стратегій. Однак це не завжди буде так; на мал. 4.9 показаний випадок, коли, незважаючи на наявність перетину стратегій, розв’язання дає для обох гравців чисті стратегії (А₂ і В₂), а ціна гри _.

У цьому випадку матриця має сідлову точку, і стратегія є свідомо невигідною, тому що при будь-якій чистій стратегії супротивника вона дає менший виграш, чим .

Рис. 4.9.

У випадку, коли свідомо невигідна стратегія є в супротивника, геометрична інтерпретація має вигляд, представлений на мал. 4.10.

Рис. 4.10.

У цьому випадку нижня границя виграшу збігається зі стратегією , стратегія В₂ для супротивника є свідомо невигідною.

Геометрична інтерпретація дає можливість представити наочно також нижню й верхню ціни гри (рис. 4.11). Для ілюстрації побудуємо геометричні

Рис. 4.11.

інтерпретації ігор 2 х 2, розглянутих у прикладах 1 і 2 (рис. 4.12 і 4.13).

Ми переконалися, що будь-яка гра 2 х 2 може бути розв’язана елементарними прийомами. Зовсім аналогічно може бути розв’язана будь-яка гра 2 х п, де в нас є всього дві стратегії, а в супротивника — довільне число.

Нехай ми використовуємо дві стратегії: , а супротивник — n стратегії: . Матриця задана; вона складається із двох рядків і n стовпців. Аналогічно випадку двох стратегій дамо завданню геометричну інтерпретацію; n стратегій супротивника зобразяться n прямими (рис. 4.12).

Рис. 4.12.

Будуємо нижню границю виграшу (ламану ) і знаходимо на ній точку N з максимальною ординатою. Ця точка дає розв’язання гри (стратегію ); ордината точки N дорівнює ціні гри ν, а абсциса дорівнює частоті р₂ стратегії .

У цьому випадку оптимальна стратегія супротивника виходить застосуванням суміші двох «корисних» стратегій: і , що перетинаються в точці N. Стратегія В₃ є свідомо невигідною, а стратегія - невигідною при оптимальній стратегії . Якщо А буде дотримуватися своєї оптимальної стратегії, то виграш не зміниться, якою би зі своїх

Р ис.4.13.

«корисних» стратегій не користувався В, однак, він зміниться, якщо В перейде до стратегій або В₃. У теорії ігор доводиться, що в будь-якої кінцевої гри m x n є розв’язання, у якому число «корисних» стратегій тої й іншої сторони не перевершує найменшого

Рис. 4.14.

із двох чисел т и п. Зокрема, із цього треба, що в гри 2 x т завжди є розв’язання; у якому з тої і іншої сторони бере участь не більше двох «корисних» стратегій.

Користуючись геометричною інтерпретацією, можна дати простий спосіб розв’язання будь-якої гри 2 x m. Безпосередньо по кресленню знаходимо пари «корисних» стратегій супротивника і , що перетинаються в точці N (якщо в точці N перетинається більше двох стратегій, беремо будь-які дві з них). Ми знаємо, що якщо гравець А дотримується своєї оптимальної стратегії, то виграш не залежить від того, у якій пропорції застосовує В свої «корисні» стратегії, отже,

З цих рівнянь і умови знаходимо і ціну гри . Знаючи ціну гри, можна одразу визначити оптимальну стратегію гравця . Для цього розв’язується, наприклад, рівняння:

,

де .

У випадку, коли ми маємо т стратегій, а супротивник— усього дві, завдання вирішується зовсім аналогічним способом; досить помітити, що, змінюючи знак виграшу на зворотний, можна перетворити гравця А з «такого, що виграє» у «такого, що програє». Можна розв’язати гру й без зміни знака виграшу; тоді завдання вирішується безпосередньо для В, але будується не нижня, а верхня границя виграшу (рис. 4.15). На границі шукається точка N з мінімальною ординатою, що і є ціна гри v.

Рис. 4.15.

Розглянемо й вирішимо кілька прикладів ігор 2 х 2 і 2 х т, що є спрощеними зразками ігор, що мають практичне значення.

Приклад 4.3. Сторона А посилає в район розташування супротивника В два бомбардувальники І і ІІ; І летить попереду, ІІ — позаду. Один з бомбардувальників - заздалегідь невідомо який — повинен нести бомбу, іншої виконує функцію супроводу. У районі супротивника бомбардувальники піддаються нападу винищувача сторони В. Бомбардувальники озброєні пушками різної скорострільності. Якщо винищувач атакує задній бомбардувальник ІІ, то по ньому ведуть вогонь гармати тільки цього бомбардувальника; якщо ж він атакує передній бомбардувальник, то по ньому ведуть вогонь гармати обох бомбардувальників. Імовірність враження винищувача в першому випадку p1= 0,3, у другому p2= 0,7. Якщо винищувач не збитий оборонним вогнем бомбардувальників, то він вражає обрану їм ціль із імовірністю = 0,6. Завдання бомбардувальників - донести бомбу до мети; завдання винищувача - перешкодити цьому, тобто збити бомбардувальник-носій. Потрібно вибрати оптимальні стратегії сторін:

а) для сторони А: який бомбардувальник зробити носієм?

б) для сторони В: який бомбардувальник атакувати?

Розв’язання. Маємо простий випадок гри 2 х 2; виграш - імовірність неураження носія. Наші стратегії:

А₁ — носій — бомбардувальник І;

А₂ — носій — бомбардувальник ІІ.

Стратегії супротивника:

B₁ — атакується бомбардувальник І; B₂ — атакується бомбардувальник ІІ.

Складемо матрицю гри, тобто знайдемо середній виграш при кожній комбінації стратегій.

1. (носій І, атакується І).

Носій не буде уражений, якщо бомбардувальники зіб'ють винищувач, або не зіб'ють, але він не вразить свою мету:

= 0,7+ 0,3· 0,4. = 0,82,

2. (носій ІІ, атакується І)

.

.

3. (носій І, атакується ІІ)

.

4. (носій ІІ, атакується ІІ)

Матриця гри має вигляд:

	0,82	1
	1	0,58

Нижня ціна гри 0,82; верхня ціна 1. Матриця не має сідлової точки; розв’язання шукаємо в області змішаних стратегій. Маємо:

Звідси

Наша оптимальна стратегія є . Тобто в якості носія слід частіше обирати І. Ціна гри складає .

Знаючи , визначаємо і - частоти стратегій і у оптимальній стратегії супротивника . Маємо:

Звідси

,

Тобто оптимальна стратегія супротивника .

Приклад 4.4. Розв’яжемо геометричним методом задачу знаходження оптимальної змішаної стратегії для наступного прикладу. Розглянемо задачу про поставку сировини. Припустимо, що деяка фірма А уклала договір з іншою фірмою В на поставку сировини, яка швидко псується, щоденно на суму 100 у.о. Якщо впродовж дня сировина не поступає, фірма А несе збитки в розмірі 400 у.о. від простою робітників. Вона може використовувати свій транспорт (додаткові витрати 50 у.о.), але досвід показує, що в половині випадків транспорт повертається порожнім. Можна збільшити ймовірність отримання сировини до 80%, якщо попередньо посилати на фірму В свого представника, але це потребує додаткових витрат у розмірі 40 у.о. Існує можливість замовити денну норму сировини в іншій фірмі за ціною, на 50% вищій, але крім витрат на транспорт (50 у.о.) можливі додаткові витрати в розмірі 30у.о., пов'язані з понаднормованою роботою бригад, які реалізують зайву сировину, якщо в той же день надходить і централізована поставка. Треба побудувати платіжну матрицю, за допомогою якої в подальшому можна буде вибрати оптимальну стратегію фірми А?

Розглянемо можливі стратегії постачальника (фірма В):

- поставка своєчасна;

- поставки немає.

У фірми А згідно з умовою задачі, чотири стратегії:

- не вживати ніяких додаткових заходів;

- послати на фірму В свій транспорт;

- послати на фірму В свого представника і транспорт;

- замовити додаткову сировину на іншій фірмі.

Усього можливі 8 ситуацій, які описують всі комбінації з чотирьох стратегій фірми А та двох стратегій фірми В? Ці ситуації та супутні їм збитки і витрати наведено в табл. 1.3.

У загальному випадку, якщо у першого гравця (фірма А) т можливих стратегій, а у другого - n, то завжди створюється т х п можливих ситуацій, кожній з яких відповідає визначений платіж одного гравця другому.

За великої кількості ситуацій табл. 1.3 стає громіздкою й неосяжною, зручніше перейти від неї до платіжної матриці А. Вона є прямокутною матрицею, яка має т рядків (за кількістю стратегій першого гравця) і n стовпчиків (за кількістю стратегій другого гравця).

Таблиця 1.3. Можливі середні денні витрати фірми А

Ситуація			Денні витрати фірми А
	Вар-тість сиро-вини	Збитки від про-стою	Транс-портні витрати	Витрати на від-рядження	Витрати на понаднор- мовану роботу	Всього в день
	100	0	0	0	0	100
	0	400	0	0	0	400
	100	0	50	0	0	150
	50	200	50	0	0	300
	100	0	50	40	0	190
	80	80	50	40	0	250
	250	0	50	0	30	330
	150	0	50	0	0	200

На перетині i-го рядка j-το стовпчика ставиться платіж другого гравця першому в ситуації, коли застосовується i-та стратегія першим гравцем та j-та стратегія другим. Якщо виграє другий гравець, то платіж буде мати знак мінус.

Платіжна матриця в задачі (грі), яка розглядається, має розмірність 4 x 2 і наведена в табл. 1.4. Усі платежі мають від'ємний знак, оскільки визначають у цій задачі витрати фірми А.

Таблиця 1.4

Стратегії фірми А	Стратегії фірми В
	-100	-400
	-150	-300
	-190	-250
	-330	-200

Платіжна матриця А має вигляд

Відкладемо по горизонтальній осі надійність постачальника (фірма В), яка вимірюється ймовірностями в діапазоні 0 - 1 і позначимо її . Величина є, таким чином, величиною ненадійності постачальника. Числа і , які дорівнюють в сумі одиниці, показують, з якою ймовірністю використовуються постачальником чисті стратегії і в кожній партії. Сукупність стратегій і які мають оцінку у вигляді ймовірностей і їх здійснення, буде змішаною стратегією.

Рис. 4.16. Графіки функцій очікуваних витрат фірми а

Точки і на рис. 4.16 відповідають другій і першій чистим стратегіям фірми В, а усі точки всередині відрізка - змішаним стратегіям. Зрозуміло, що змішаних стратегій у кожного гравця нескінченна множина. Побудуємо графіки очікуваних витрат фірми А при застосуванні своїх чистих стратегій проти змішаної стратегії фірми В. Почнемо з першої стратегії. Якщо постачальник абсолютно надійний (тобто завжди застосовує стратегію і значить , ), витрати фірми А дорівнюють відповідно до платіжної матриці - 100 у.о. Відкладемо на графіку точку з координатами (1; -100). Якщо постачальник абсолютно ненадійний (тобто завжди застосовує стратегію і значить , ), то витрати фірми А дорівнюють - 400 у.о. і потрібно відкласти точку з координатами (0; -400). Якщо надійність фірми В , то щоденні витрати фірми А, яка застосовує першу стратегію проти змішаної стратегії постачальника, залежать від ймовірності і дорівнюють

у.о. (4.1)

Графіком цієї функції є пряма лінія (див. рис. 4.16).

Аналогічно будуються графіки функцій очікуваних витрат фірми при застосуванні кожної чистої стратегії проти змішаних стратегій фірми-постачальника В:

які відповідно позначаються на рис. 4.1 як , , .

При надійності постачальника =0,4 до перетину з лініями функцій очікуваних витрат фірми А з'ясовуємо, що оптимальною буде стратегія А₃, яка забезпечує мінімальні витрати - 226 у.о.

Якщо надійність постачальника , вигідніше застосовувати четверту стратегію; при надійності постачальника оптимальною стратегією буде А₃ , при - А₂, при - (див. рис. 4.16).

Ці критичні значення надійності отримані із загального розв'язку рівнянь (4.1) - (4.4), які взяті попарно: (4.3) і (4.4) - точка b, (4.2) і (4.3) - точка с (4.1) і (4.2) - точка d.

Наведена ламана лінія abcde показує, як змінюються витрати фірми А при зміні надійності постачальника від 0 до 1. Як видно з графіка, збільшення надійності постачальника не призводить автоматично до зменшення витрат фірми А. Справді, коли надійність постачальника зростає від 0 до 0,263, витрати фірми А зростають від —200 у.о. до

Збільшення витрат зумовлено тим, що сировина закуповується у другого постачальника, а нерегулярні поставки основного постачальника (з ймовірністю 0,263) призводять до додаткових витрат.

При надійності постачальника = 0,263 витрати фірми А максимальні з усіх можливих при розумному виборі фірмою А своїх стратегій (цей максимум залежить від величин умовно-вибраних витрат (див. табл. 4.1)).

Якби гра була б антагоністичною, тобто постачальник прагнув нанести фірмі А максимальний збиток, його оптимальна надійність повинна була б дорівнювати = 0,263. При цьому витрати фірми А становили б — 234,2 у.о. і оптимальними були б стратегії і (точка b знаходиться на перетині ліній і ). Справді, підставляючи = 0,263 в рівняння (4.3), (4.4), отримаємо S₃(0,236) = S₄(0,236) = -234,2 у.о.

У зв'язку з тим, що фірма-постачальник прагне нанести фірмі А максимальний збиток, остання не може вибирати якусь одну з чистих стратегій А₃ або А₄ бо в цьому випадку, якщо фірма В змінить надійність поставок у меншу сторону від = 0,263 (у випадку стратегії А₃) або в більшу сторону (у випадку стратегії А₄) збитки зростуть і будуть більші, ніж -234,2 у.о.

Оскільки в антагоністичній грі перша і друга стратегії фірми А неефективні, розглянемо можливість знаходження змішаної стратегії А₃ і А₄ з такими ймовірностями застосування, при яких збитки фірми А були б не більшими -234,2 у.о. при будь-яких стратегіях фірми В.

Побудуємо графіки витрат фірми А, яка застосовує свою змішану стратегію і складається з чистих стратегій А₃ і А₄ проти кожної чистої стратегії В₁ і В₂ фірми В (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Графіки очікуваних витрат фірми А в антагоністичній грі.

Позначимо через Y₃ ймовірність застосування стратегії А₃ а через Y₄ - стратегії А₄ (Y₃ + Y₄ = 1). З графіка, побудованого аналогічно графіку на рис.4.17, видно, що оптимальна змішана стратегія фірми А включає стратегії А₃ і А₄ , які застосовуються з ймовірностями Y₃= 0,685 і Y₄= 0,315.

Оптимальні витрати фірми А (які називаються у випадку антагоністичної гри ціною гри) дорівнюють ординаті точки перетину q. Підставляючи Y₃=0,685 у будь-яке із рівнянь прямих , отримуємо те саме значення витрат -234,2 у.о., яке було розраховано раніше. Нарис. 4.2 видно, що в антагоністичній грі фірмі А не слід відступати від своєї оптимальної змішаної стратегії Y₁ = Y₂ = 0; Y₃ = 0,685; Y₄ = 0,315, оскільки витрати збільшуються (у напрямку наведених ліній). При Y₃< 0,685 фірма В почне застосовувати чисту стратегію при Y₃> 0,685 - чисту стратегію В₂ і нанесе фірмі А збитки більші, ніж -234,2 у.о.

Таким чином, якби гра була антагоністична (тобто кожний гравець наносить супротивнику максимальний збиток), гравцям необхідно рекомендувати такі оптимальні стратегії: фірмі А – Y₁ = Y₂ = 0; Y₃ = 0,685, Y₄ = 0,315; фірмі В - = 0,263, = 0,737. При цьому вартість гри (тобто очікувані збитки фірми А) дорівнює - 234,2 у.о.