6. Дм графы, способы задания, геометрическая реализация

примеры задач на графы

Графом G наз-ся пара объектов V и E (G=V,E). V={a₁, a₂, …} мн_­­­­‑во вершин, E={(a_i, a_j)}- мн-во ребер. Каждое ребро может быть либо упорядоченно, либо нет; в зависимости от этого граф ориентированный или неориентир-ый.

Пусть m=|V| - число вершин, n=|E| - число ребер. Если m и n конечны, то граф конечный.

Пр1: V={1,2,3,4}, E={(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

Путь из a_i в a_j:

Путь из вершины в саму себя, не содержащий дважды одно и тоже ребро, наз‑ся циклом. Если цикл состоит из одного ребра, то его называют петлей.

Граф, не сод-ий циклов, наз-ся ациклическим.

Граф наз-ся связным, если между любыми его вершинами существует путь.

Г

Т

еометрическая реализация графов: геом. фигуру Г называют геом. реализацией графа G, если сущ‑ет взаимнооднозначное соотв‑ие между вершинами G и точками фигуры Г, и между ребрами G и дугами Г.

[Т] каждый конечный граф G м.б. реализован в трехмерном евклидовом пространстве.

Граф, который м.б. реализован в 2-мерном пр-ве - плоский (планарный).

П р2: не планарный граф:

Два графа наз-ся изоморфными, если они имеют одинаковое кол‑во вершин и ребер и сущ-ет взаимнооднозначное соответствие между вершинами и ребрами этих графов, при котором соотв. ребра соед-ся с соотв. верш-ми.

Дерево – любой связный ациклический граф.

Деревом графа наз-ся любой связный ациклический подграф. Если дерево графа содержит все его вершины, то оно наз-ся остов.

Маршрут из ₀ в _k = ₀l₁₁l₂…l_k_k, где l_i=(_i-1_i). Если все ребра маршрута различны, то это цепь.

Эйлеровой цепью в графе наз-ся замкнутая цепь, сод-ая все ребра.

Г

Т

раф, содержащий эйлерову цепь, наз-ся эйлеровым графом.

граф явл-ся эйлеровым т.тогда, когда степень каждой вершины четная.

Гамельтоновым циклом наз-ся простой цикл, содержащий все вершины.

Алгоритм построения остовного дерева минимальной стоимости: ребра в графе упорядочиваем по возрастанию. последовательно выбираем ребра (из упорядоченной последовательности) до тех пор, пока выбранные ребра не дадут дерева. Очередное ребро выбираем только в том случае, если при его добавлении не возникает цикла.

Задачи на графы: задача комивояжера (нахождение минимального гамильтонова цикла на графе с N вершинами), транспортная задача

7. Дм теория кодирования, алфавитное кодирование, проблема однозначности кодирования, префиксные коды

сообщение[кодер]код сообщ.[канал связи]код сообщ.[декодер]сообщ. на выходе

Проблемы: однозначность кодирования, оптимизация кодирования, обнаружение и исправление ошибок

П усть a={a₁,a₂,…,a_n}-исх. алф., A= , l(A) – длина слова, S(A)-мн‑во всех слов в алф. A, S(A)S(A)-мн‑во всех возм-х сообщ. на входе; b={b₁,b₂,…,b_q}-алфавит, В- слово в нем.

Пусть задано отобр. F: AS(A) BS(B). Слово B – код сообщения A. Процесс перехода от A к B – кодирование. Отобр. F- некоторый алгоритм.

Алфавитное кодирование: задается схема кодирования , которая каждому символу алфавита a ставит в соответствие слово B из алфавита b:

:	a1 – B1	Слова B1…Br нас-ся элементарными кодами. Могут иметь произвольную конечную длину
	a2 – B2
	…
	ar – Br

Рассмотри проблему однозначности кодирования:

Будем считать, чт S(a)=S(a). Пусть S_(B)S(B) – образ мн-ва S(A) при кодировании. Если отображение S(A)S_(B) взаимнооднозначно, то проблема декодирования решается однозначно.

Пр1:	:	a1 – b1	-однозначна
		a2 – b1b2

Пусть слово B=BB. Тогда B - префикс, B - суффикс.

С

Т

хема кодирования  обладает св-вом префикса, если I,j (ij) B_i не является префиксом B_j.

если схема кодирования  обл-ет св-вом префикса, то кодирование будет взаимнооднозначным.

Пр2:	:	a1 – b1b2	-обдадает св-вом префикса  однозначна
		a2 – b1b1
		a3 – b3

Т еорема Маркова:

l(B)-длина слова B, l_i=l(B_i), -длина схемы кодирования

П

Т

усть B_i – элементарный код и имеется его разложение вида B_i=B_i1… B_i, где ,  - цепочки, отличные от элемент-х кодов, причем  не оканчивается элем-м кодом,  - не начинается им. Для любого B_i есть конечное число таких разложений. Обозначим через W максимум величины  по всем возможным разложениям всех B_i. (Маркова) для любой схемы кодирования  такое, что проблема однозначности кодирования сводится к проверке однозначности на некотором множестве S^N(a)- мн-во всех слов в алфавите а, длина которых N.

Э

Т

та теорема позволяет построить чисто практический алгоритм распознавания однозначности: для каждого B_i рассм. все разложения. Построим мн-во D={, ⁱ}. Построим граф Г(), вершинами которогоявл-ся эл-ты мн-ва D так: если сущ-ет разложение Bi==B_i1… B_i, то соединим  и  ориентир‑м ребром, которое пометим цепочкой B_i1… B_i.

Алфавитное кодирование со схемой  явл-ся неодн‑м т.тогда, когда граф Г() содержит ориентированный цикл, проходящий через вершину .