2. Дм полнота и замкнутость систем функций. Теорема о функциональной полноте

E²={0,1}; f(x₁,…,x_n)-ф-ия алгебра логики, если переменные x₁,…, x_n определены на E² и зн‑ия ф-ии f на любом наборе переменных принадлежат E²

f(A₁…A_n) – формула, если A₁…A_n – формулы либо переменные

Пусть P={f₁f₂…} – система ф-ий изP₂. Система ф-ий P функционально полна в P₂, если fP₂ м.б. представлена в виде формулы над P. Примеры полных в P₂ систем ф-ий: P₂, {,,},

{,}, {,}, {0,1, xy, xy}, {|}, {,}

Пусть MP₂. Замыканием мн-ва M наз-ся мн-во всех булевых ф‑ий, представимых в виде ф-лы над M. Обозн [M].

Пр.: M=P₂  [M]=P₂; M={1, x₁x₂}  [M]={f: f=c₀c₁x₁…c_nx_n}

Класс M – замкнутый, если M=[M]. Пр.: P₂-замкнутый класс

Классы ф-ий: T₀={f: f(0…0)=0} – класс ф-ий, сохраняющих константу 0; T₁ – класс ф-ий, сохр-х константу 1; S -класс самодвойственных ф-ий (на противоположенных наборах принимают противоположные значения); M-класс монотонных ф-ий (,:< f()f()); L-класс линейных ф-ий

	0	1	x	¬x	x&y	xy	xy	x~y	xy	x|y	xy
T0	+	-	+	-	+	+	-	-	+	-	-
T1	-	+	-	-	+	+	+	+	-	-	-
S	-	-	+	+	-	-	-	-	-	-	-
M	+	+	+	-	+	+	-	-	-	-	-
L	+	+	+	+	-	-	-	+	+	-	-
				отр	кон	диз	импл	экв	слож	штрих шеффера	стрелка пирса

[

Т

Т] о функциональной полноте: пусть P={f₁f₂…}-произв. сист. ф­­‑ий из P₂. Для того, чтобы сист. ф-ий была функционально полной в P₂ н. и д., чтобы она целиком не принадлежала ни одному из замкнутых классов T₀, T₁, S, L, M.

Пр.: {xy, x}

T0 T1 S L M x - - + + - xy + + - - +

=> полна

Пр.: {xy, xy}

T0 T1 S L M xy + + xy - +

=> не полна