Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М(С) = С

2. Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання

М(СХ) = СМ(Х)

3. М(Х + Y) = М(Х) + M(Y)

4. М(Х - Y) = М(Х) - M(Y)

5. Якщо А і В є сталими величинами, то М(АХ + В) = АМ(Х) + В

Приклад 4. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі	-6	-4	2	4	6	8
рі	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Обчислити М(Х), М(5Х + 2).

Розв’язання. Скориставшись формулою (6) дістанемо

1. 

= -6·0,1 – 4·0,1 – 2·0,2 + 4·0,3 + 6·0,1 + 8·0,2 = - 0,6 - 0,4 + 0,4 + 1,2 + 0,6 + 1,6 = 2,8 (од).

2. М(5Х + 2) = М(5Х) + М(2) = 5М(Х) + 2 = 5∙2,8 + 2 = 14 + 2 = 16(од).

Відповідь: М(Х) = 2,8(од), М(5Х + 2) = 16(од).

Пример 5. За заданою функцією розподілу ймовірностей

Обчислити М(Х).

Розв’язання. Для обчислення М(Х) необхідно знайти щільність імовірностей.

Тоді по формулі (7):

М(Х) = 0(од).

Відповідь: М(Х) = 0(од).

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М(Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Приклад 6. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:

хі	- 0,5	- 0,1	0,1	0,5
рі	0,4	0,1	0,1	0,4

yj	- 100	- 80	- 10	10	10	80
рj	0,1	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2

Обчислити М(Х) і М(Y)

Розв’язання.

Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні.

Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М(Х) = М(Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань тенденцію відносно М(Х) та М(Y), причому У має більший розмах розсіювання відносно М(Y), ніж випадкова величина на Х відносно М(Х). тому математичне сподівання називають центром розсіювання.

Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М(Х)).

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,

М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М(Х) – М(Х) = 0.

Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

D(X) = M(X – M(X))² (8)

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

D(Х ) = М(Х²) – М²(Х). (8^*)

Доведення. Згідно з(1) дістаємо:

D(Х ) = М(Х – М²(Х)) = М(Х² – 2М(Х)Х + М²(Х)) = М(Х² – 2М(Х)М(Х) + М(М²(Х)) = М(Х²) – 2М²(Х) + М²(Х) = М(Х²) – М²(Х).

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

(9)

Для неперервної випадкової величини Х дисперсія

Якщо Х , то (10)