Практична робота №1

Тема: Класичне означення ймовірності.

Мета: Ознайомитися з класичним визначенням Ймовірності та навчитися застосовувати його до розв'язування задач.

Хід роботи

1. Розв'язати першу задачу обрану за варіантом, оформити її.

2. Другу задачу – скласти самостійно на тему «Класичне означення ймовірності», розв’язати її і відповідно оформити.

3. Зробити висновок.

4. Підготуватися до захисту за контрольними запитаннями.

Теоретична частина з прикладами виконання

практичних завдань

Дослідом, або випробуванням, називають всяке здійснення певного комплексу умов або дій, при яких відбувається відповідне явище.

Можливий результат досліду називають подією. Події позначатимемо великими літерами латинського алфавіту А, В, С ...

Наприклад: 1) Дослідом є підкидання монети, а подіями "герб", "цифра на верхній її стороні" (коли монета впаде).

2) Дослідами є стрілянина по мішені, витягання кулі з ящика і тому подібне.

Події діляться на достовірні, неможливі і випадкові.

Подія називається достовірною в даному досліді, якщо вона обов'язково відбудеться в цьому досліді. Позначається символом Ω («омега»).

Наприклад: 1) Якщо в ящику знаходяться тільки блакитні кулі, то подія "з ящика витягує блакитна куля" є достовірним (у ящику немає куль іншого кольору).

2) У земних умовах вода, нагріта до температури 100°C, набуває стану кипіння.

3) Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька узята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою в даному досліді, якщо вона не може відбутися в цьому досліді. Позначається символом Ø (порожня множина).

Наприклад: 1) Якщо в ящику знаходяться тільки червоні кулі, то подія "з ящика достали блакитну кулю" є неможливим (таких куль в ящику немає).

2) В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.

3) Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія полягає в тому, що на момент збирання вражаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці є неможливою.

Подія називається випадковою в даному досліді, якщо вона може відбутися, а може і не відбутися в цьому досліді. Позначається символами A, B, C . або A₁, A₂, A₃., А_к; В₁, В₂ ., В_n.

Наприклад: 1) Якщо в ящику знаходяться п блакитних і т червоних куль, однакові за розміром і вагою, то подія "з урни витягує блакитна куля" є випадковою (вона може відбутися, а може і не відбутися, оскільки в урні є не тільки блакитні, але і червоні кулі).

2) Випадковими подіями є "герб" і "цифра на верхній стороні монети при її підкиданні".

3) "Попадання і промах при стрільбі по мішені".

4) "Виграш по квитку лотереї" і тому подібне.

Тобто, випадкові події зв'язані експериментами, внаслідки яких є неоднозначними.

Дві події називаються сумісними в даному досліді, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в цьому досліді.

Наприклад, при підкиданні двох симетричних монет, події А - "герб на верхній стороні першої монети" і В - "цифра на верхній стороні другої монети" є сумісними.

Дві події називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом при одному і тому ж випробуванні.

Наприклад, несумісними є попадання і промах при одному пострілі.

Декілька подій називаються несумісними, якщо вони попарно-несумісні.

Дві події називаються протилежними, якщо поява однієї виключає появу іншої.

Н априклад, протилежними є події "герб" і "цифра" при одному підкиданні симетричної монети. Якщо одна з протилежних подій позначена буквою А, те інше позначають . Наприклад, якщо А - "попадання", то - "промах" при одному пострілі по мішені.

Множину подій А₁, А₂ ..., А_n, називають повною групою подій, якщо вони попарно несумісні; поява однієї і лише однієї з них є достовірною подією.

Пояснимо поняття повної групи подій на наступному прикладі. Розглянемо події, що з'являються при підкиданні грального кубика (тобто кубика, на гранях якого записані цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6 або зображені знаки, відповідні цим цифрам). Коли кубик впаде, то верхньою гранню виявиться грань з однією з цих цифр. Подія: "верхньою гранню виявилася грань з цифрою k" позначимо через A_k (k= 1,2, 3,4, 5,6). Події А₁, А₂, А₃, A₄, A₅, A₆ утворюють повну групу: вони попарно-несумісні; поява однієї і лише однієї з них є достовірною подією (коли кубик впаде, то тільки одна з граней виявиться верхньою, на ній написана тільки одна з цифр від 1 до 6).

Події вважають рівноможливими, якщо немає підстав вважати, що одна подія є більш можливою, ніж інша.

Наприклад, при підкиданні монети подія А (поява цифри) і подія В (поява герба) рівноможливі, оскільки передбачається, що монета виготовлена з однорідного матеріалу, має правильну циліндрову форму і наявність чеканки не впливає на те, яка сторона монети (герб або цифра) виявиться верхньою.

Кожна подія, яка може наступити у результаті досліду, називається елементарним результатом (елементарною подією, або шансом).

Наприклад, події А₁, А₂, А₃, A₄, A₅, A₆ - елементарні результати при підкиданні кубика.

Елементарних результатів, при яких дана подія наступає, називаються такими, що сприяють цій події, або сприятливими шансами.

Наприклад, при підкиданні грального кубика елементарні результати А₂, A₄, A₆ є такими, що сприяють події "випало парне число очок".

Для всяких випадкових подій А і В

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (1)

Якщо події А і В несумісні, то АВ = Ø, то Р(АВ) = 0 і формула (1) прийме вигляд

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (2)

Класичне визначення ймовірності

Ймовірністю події називається відношення числа елементарних результатів, що сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досліду, в якому може з'явитися ця подія.

Ймовірність події А позначають через Р(А) (тут Р - перша буква французького слова probabilite - ймовірність). Відповідно до визначення маємо:

Р(А)= m / n (3)

де т - число елементарних результатів, що сприяють події А;

п - число всіх рівноможливих елементарних результатів досліду, що утворюють повну групу подій.

Ймовірність події має наступні властивості:

1. Ймовірність достовірної події рівна одиниці.

2. Ймовірність неможливої події рівна нулю.

3. Ймовірність випадкової події зображається позитивним числом, меншим одиниці:

0 < Р(А)< 1 (4)

Приклад 1 В урні 10 однакових по розмірах і вазі куль, з яких 4 червоних і 6 блакитних. З урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що куля, яку витягають, виявиться блакитною?

Рішення: Подія «куля виявилася блакитною" позначимо буквою А.

Дане випробування має 10 рівноможливих елементарних результатів, тобто

п = 10, з них 6 сприяють події А, т = 6. Відповідно до формули (3) отримуємо

Р (А) = Р(А) = = 0,6 або 60%.

Відповідь: Ймовірність того, що вийнята куля голуба дорівнює 60%.

Приклад 2 Всі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і поміщені в урну. Після ретельного перемішування карток з урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на узятій картці виявиться кратним 5?

Рішення. Позначимо через А подію - "число на узятій картці кратно 5". У даному випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів (п = 30), з яких події А сприяють 6 результатів (числа 5, 10, 15,20, 25, 30) (т = 6).

Отже, по класикному визначенню ймовірності (3) маємо Р(А) = = 0,2 або 20%.

Відповідь: Ймовірність того, що число на узятій картці виявиться кратним 5 дорівнює 20%.

Варіанти завдань першої задачі

1. В урні 20 однакових по розміру і вазі кульок, з яких 14 жовтих та 6 блакитних. З урни навмання беруть одну кульку, яка опинилася блакитною і відкладають її. Знову виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що кулька взята з урни буде жовтою.

2. Натуральні числа від 1 до 50 записані на однакових картках та поміщені в урну, де їх ретельно перемішують. Виймають одну картку. Яка ймовірність того, що число на взятій картці буде кратним 3?

3. Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри одинакові?

4. Із букв слова „диференціал” навмання обирається одна буква. Яка ймовірність того, що ця буква голосна.

5. Підкидають два гральні кубика. Яка ймовірність того, що на кубиках випало однакова кількість очок.

6. Підкидають два гральні кості. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях в сумі буде 9 балів.

7. Підкидають дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет будуть цифри.

8. В урні знаходиться 9 білих та 8 зелених кульок. Із урни виймають одну кульку, яка опинилася білою і відкладають її. Знову виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька також буде білою.

9. В слові „математика” навмання обирається одна буква, яка ймовірність того, що вона (приголосна – согласная).

10. Підкидають дві гральні кості. Яка ймовірність того, що кількість очок на верхніх гранях в сумі дасть 7.

11. Навмання обрано натуральне число, яке не перебільшує 10. Яка ймовірність того, що це число є простим [не має дільників окрім себе і 1].

12. В урні 12 кульок, із них 3 червоні, 5 жовтих, інші білі. Виймають одну кульку, вона опинилася білою. Виймають ще одну кульку Яка ймовірність того, що ця кулька теж біла.

13. На 20 картках намальовані зображення лисиці – 3 шт., орла – 12 шт., дерева – 5 шт. Яка ймовірність того, що навмання взята картка буде містити зображення світу тварин.

14. В урні 15 однакових по розміру і вазі кульок, з яких 3 червоних, 7 синіх и 5 жовтих. Із урни виймають одну кульку, вона опинилася жовтою. Виймають ще одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята кулька буде червоною.

15. Всі натуральні числа від 11 до 39 записані на однакових картках та поміщені в урну, де їх ретельно перемішують. Виймають одну. Яка ймовірність того, що число на взятій картці буде кратним 2?

16. Яка ймовірність того, що в навмання обраному трьохзначному числі цифри однакові?

17. Із букв слова „Інтеграл” навмання обирається одна буква. Яка ймовірність того, що ця буква голосна?

18. Підкидають дві гральні кості. Яка ймовірність того, що на випаде різна кількість очок.

19. Підкидають дві гральні кості. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях в сумі буде 11 очок.

20. Підкидають дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет будуть герби.

21. В урні знаходиться 12 жовтогарячих і 5 рожевих кульок. З урни виймають одну кульку, яка опинилася рожевою, і відкладають її. Знову виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька теж буде рожевою.

22. В слові „інформатика” навмання обирається одна буква, яка ймовірність того, що це буква „а”.

23. Підкидають дві гральні кості. Яка ймовірність того, що кількість очок на верхніх гранях в сумі дасть 4.

24. Навмання обрано натуральне число, що не перебільшує 15. Яка ймовірність того, що це число є простим [не має дільників крім себе і 1].

25. В урні 27 кульок, з них 13 червоних, 5 жовтих, інші зелені. Виймають одну кульку, вона опинилася зеленою. Виймають ще одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька буде жовтою.

26. Із букв слова „ймовірність” навмання обирається одна буква. Яка ймовірність того, що ця буква приголосна.

27. Підкидають дві гральні кості. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях в сумі буде 9 очок.

28. Всі натуральні числа від 10 до 49 записані на однакових картках та поміщені в урну, де їх ретельно перемішують. Виймають одну. Яка ймовірність того, що число на взятій картці буде кратним 3?

29. Навмання обрано натуральне число, що не перебільшує 25. Яка ймовірність того, що це число є простим [не має дільників крім себе і 1].

30. На 25 картках намальовані зображення картоплі – 3 шт., моркви – 12 шт., квасолі - 5 шт., арахісу – 5 шт. Яка ймовірність того, що навмання взята картка буде містити зображення рослини, плоди якаї зростають в грунті?