![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Минобрнауки россии
- •305040, Г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94. Оглавление
- •Раздел 3. Квантовая физика и физика атома 5
- •Раздел 4. Ядерная физика и физика элементарных частиц 45
- •Раздел 3. Квантовая физика и физика атома
- •3.1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц. Волны де Бройля. Принцип неопределённостей Гейзенберга
- •3.1.1. Соотношение неопределенностей
- •Примеры решения задач
- •3.2. Уравнение Шрёдингера
- •3.3. Простейшие задачи квантовой механики
- •3.3.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер
- •3.3.2. Движение частиц в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками
- •3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для водородоподобных систем
- •3.5. Модель атома водорода Бора
- •3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода
- •3.7. Векторная модель атома
- •Принцип запрета Паули
- •Если учесть наличие спина у электрона, то .
- •Раздел 4. Ядерная физика и физика элементарных частиц
- •4.1. Радиоактивность. Состав атомных ядер.
- •4.2. Превращение атомных ядер
- •4.2.1. Законы радиоактивного распада
- •4.2.2. Активность радиоактивного вещества
- •4.3. Ядерные реакции. Элементарные частицы
- •4.3.1. Искусственная радиоактивность, ядерные реакции
- •4.3.1. Законы сохранения в ядерных реакциях
- •4.3.2. Основные характеристики элементарных частиц
- •4.3.3. Изотопический спин
3.3. Простейшие задачи квантовой механики
Теоретическое введение
3.3.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер
Различие
в поведении квантовых и классические
частиц проявляется в том случае если
на пути частицы встречается потенциальный
барьер (при
,
при
)
Для классической частицы: если Е – полная энергия частицы меньше U0 то она не преодолеет и, потеряв часть скорости, будет двигаться вдоль Х.
Для
квантовой частицы: если
,она
проникнет на некоторую глубину, а затем
начнет двигаться обратно.
Г
лубиной
проникновения . при которой вероятность
нахождения частицы уменьшается в е
раз
Например,
металлическое тело для свободных
электронов является потенциальной ямой
с U0,
которая выше
Е электрона
на 1 эВ. Тогда
Å.
Поверхность
металла является потенциальным барьером,
в который электроны проникают на глубину
и возвращаются обратно. Следовательно,
поверхность металла окружена облаком
электронов.
Даже
если
,
то есть вероятность отражения частицы
от барьера
.
Д
ля
барьера конечной ширины вероятность
того, что квантовая частица пройдет
сквозь него называется коэффициентом
прохождения (прозрачности)
Для барьера произвольной формы
Ч
астица
как бы проходит через «туннель» в
потенциальном барьере и поэтому такое
явление называется туннельным эффектом.
В туннеле получается, что кинетическая энергия отрицательна. Такого быть не может, так как одновременно знать кинетическую и потенциальную энергию в квантовой механике невозможно, то же самое, что одновременно и x, следовательно, понятие отрицательной кинетической энергии абсурдно.
3.3.2. Движение частиц в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками
В
уравнение Шредингера
полная энергия Е
частицы входит в качестве параметра. В
теории дифференциальных уравнений
доказывается, что уравнения Шредингера
удовлетворят стандартным условиям не
при любых значениях Е,
а лишь при определенных значениях,
которые называются собственными
значениями
энергии. Решения соответствующие
собственным значениям энергии называются
собственными
функциями.
Совокупность собственных значений
называется спектром.
Спектр бывает дискретным и непрерывным.
В случае дискретного спектра собственные
значения и собственные функции можно
пронумеровать
.
Пусть частица находится между двумя бесконечными стенками, удовлетворяющими условиям
,
.
Для одномерного случая уравнение Шредингера
За
пределами ямы вероятность обнаружения
частицы равна нулю. Следовательно, и
.
Из условий непрерывности на границах
Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид
Обозначим
.
Для уравнения
общим решением является
Из
условия
Из
условия
При
то есть частица отсутствует.
Откуда
.
Выразив из энергию, получим:
,
С
пектр
энергии является дискретным. Если
вычислитьь разницу между соседними
уровнями энергии и в качестве частицы
взять молекулу с
кг, то для ширины ямы ℓ = 10 см получим
эВ.
То есть, чем больше m
и больше ℓ,
тем гуще уровни энергии. Для электрона
ℓ
~
10-10
м (атомные размеры)
эВ.
Найдем собственные функции
Для нахождения А воспользуемся условием нормировки
Функция
на концах промежутка х
= 0 и x
= ℓ обращается в ноль, поэтому интеграл
можно получить, умножив среднее значение
на ℓ.
Откуда
В состоянии n = 2 вероятность нахождения частицы посередине ямы рана 0. В классической физике все положения частицы равновероятны.
Пример
1.
Волновая функция
описывает основное состояние частицы
в бесконечно глубоком прямоугольном
ящике шириной .
Вычислить вероятность нахождения
частицы в малом интервале
= 0,01
в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x <
);
2) в средней части ящика (( - )/2 ≤ x ≤( + l)/2).
1)0,02; 2)0,01; 3)0,60; 4)0,54.
Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна d = (x)2dx.
В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01:
Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01 и, следовательно, x/ <, справедливо приближённое равенство
sin2(x/) (x/)2.
С учётом этого выражение (1) примет вид
После интегрирования получим
=
.
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале ( = =0,01) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
= 2(sin2(/2)/ = 20,01/ = 0,02.
Задания к теме
Задание 34
Ч
астица
массой m
с энергией E
< U0
подлетает к потенциальному барьеру
высотой U0
Для области I
уравнение Шредингера имеет вид…
*1) ;
2)
;
3) ;
4)
.
З
адание
35
Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области II уравнение Шредингера имеет вид…
*1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Задание 36
Н
а
рисунке приведены картины распределения
плотности вероятности нахождения
микрочастицы в потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками. Состоянию
с квантовым числом n
= 2 соответствует график …
1); *2); 3); 4).
Задание 37
Н
а
рисунке приведены картины распределения
плотности вероятностей нахождения
микрочастицы в потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками. Состоянию
с квантовым числом n
= 4 соответствует график …
1); 2); 3); *4).
Задание 38
В
ероятность
обнаружить
электрон на участке (a,b)
одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется
по формуле
,
где
ω
плотность вероятности, определяемая
ψ- функцией. Если ψ
функция имеет вид указанный на рисунке,
то вероятность обнаружить электрон на
участке
равна
…
*1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Задание 39
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
,
где
ω
плотность вероятности, определяемая
ψ- функцией. Если ψ
функция имеет вид указанный на рисунке,
то вероятность обнаружить электрон на
участке
равна
…
*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
З
адание
40
Вероятность
обнаружить электрон на участке (a,b)
одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется
по формуле
,
где ω
плотность вероятности, определяемая
ψ- функцией. Если ψ
функция имеет вид, указанный на рисунке,
то вероятность обнаружить электрон на
участке
равна
…
*1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Задание 41
В
ероятность
обнаружить электрон на участке (a,b)
одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется
по формуле
,
где
ω
плотность вероятности, определяемая
ψ- функцией. Если ψ
функция имеет вид указанный на рисунке,
то вероятность обнаружить электрон на
участке
равна
…
*1)
;
2)
;
3)
;
5)
.
Задание 42
Н
а
рисунке изображена плотность вероятности
обнаружения микрочастицы на различных
расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность
её обнаружения в центре ямы равна …
*1)
0; 2)
; 3)
; 4)
.
Задание 43
Н
а
рисунке изображена плотность вероятности
обнаружения микрочастицы на различных
расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность
её обнаружения на участке
равна …
*1) ; 2) ; 3) 0; 4) .
Задание 44
На
рисунках схематически представлены
графики распределения плотности
вероятности обнаружения электрона по
ширине одномерного потенциального
ящика с бесконечно высокими стенками
для состояний с различными значениями
главного квантового числа n.
В
состоянии с n = 4 вероятность обнаружить
электрон в интервале от
до l
равна
*1) 5/8; 2) 3/8; 3) ¾; 4) 7/8.
З
адание
45
На
рисунке приведены возможные ориентации
вектора
– орбитального
момента импульса электрона в атоме.
Значение
орбитального квантового числа для
указанного состояния равно:
*1) 2 2) 1 3) 4 4) 5
Задание 46
На рисунке приведена одна из возможных ориентаций момента импульса электрона в р-состоянии. Какие еще значения может принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля?
1) 2 *2) *3) 4) 2
Задание 47
М
омент
импульса электрона в атоме и его
пространственные ориентации могут быть
условно изображены векторной схемой,
на которой длина вектора пропорциональна
модулю орбитального момента импульса
электрона.
На
рисунке приведены возможные ориентации
вектора
.
Значение орбитального квантового числа
и минимальное значение главного
квантового числа для указанного состояния
соответственно равны …
*1) l = 1, n = 2
2) l = 1, n = 1
3) l = 3, n = 3
4) l = 3, n = 4
З адание 48
На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …
*1)
2)
3)2 4) 3
З адание 49
На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …
1) *2) 3) 2 4) 3
Задание 50
Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.
*1) 151,2 2) 75,6 3) 18,9 4) 9,45