3.1.1. Соотношение неопределенностей

В классической механике состояние частицы описывается так называемыми динамическими переменными импульсом, энергией и значениями координат.

Своеобразие квантовых частиц состоит в том, что они одновременно не могут иметь точные значения координаты х и компоненты импульса . Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, доказанному в 1927 году, между неопределенностями х и существует следующая связь:

Величины (x ,p_x), (y, p_y), (z, p_z), (E, t) называются канонически сопряженными.

Для энергии и времени соотношение неопределённостей имеет вид

.

На определение энергии частицы с точностью требуется время не меньше .

Принцип неопределенности Гейзенберга:

Произведение неопределенностей двух канонически сопряженных переменных не может по рядку величины быть меньше .

Так как очень мало (ћ=1,05 10^-34 Джс), то соотношение неопределенностей проявляет себя только в микромире.

Учитывая, что из соотношения Гейзенберга

Это соотношение показывает, что чем больше m, тем меньше неопределенность x и , тем с большей степенью точности можно говорить о понятии траектории микрочастицы.

Примеры решения задач

Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 В; 2) U₂ = 510 кВ.

*1)1,4 пм; 2)0,70 пм; 3)0,35 пм; 4)2,8 пм.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой

_Б = h/p, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае



где m_o - масса покоя электрона.

В релятивистском случае

 (3)

где E_o = m_oc² - энергия покоя электрона.

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

 (4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Электрическое поле совершает над электроном работу, которая равна изменению его кинетической энергии T:

T = eU

В первом случае T₁ = eU = 51 эВ = 0,5110^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E_o = m_oc² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T₁ = =10^-4m_oc². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде



Учитывая, что h/m_oc есть комптоновская длина волны , получим

₁ = 10² .

Так как  = 2,43 пм, то

₁ = 10²2,43/ = 171 (пм).

Во втором случае кинетическая энергия T₂ = eU₂ = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T₂ = m_oc², то по формуле (5) находим



Подставим значение  и произведём вычисления:

Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

*1) 124 нм; 2) 62 нм; 3) 228 нм; 4) 31 нм.

Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид

xp_x  ћ (1)

где x - неопределённость координаты x электрона; p_x - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная Планка делённая на 2.

Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью

x = /2.

Соотношение неопределённостей (1) можно записать в этом случае в виде

(/2)p_x  ħ,

откуда

  2ħ/p_x (2)

Физически разумная неопределённость импульса p_x во всяком случае не должна превышать значения самого импульса p_x, то есть p_x  p_x. Импульс p_x связан с кинетической энергией T соотношением p_x = (2mT)^1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим

 (3)

Произведём вычисления:

_min = 21,0510^-34/(29,110^-311,610^-1910)^1/2 = 124 нм.

Задания к теме

Задание 1

Групповая скорость волны Де Бройля . . .

*1) равна скорости частицы; 2) зависит от квадрата длины волны;

3) не имеет смысла как физическая величина; 4) равна скорости света в вакууме; 5) больше скорости света в вакууме.

Задание 2

Кинетическая энергия классической частицы увеличилась в 2 раза. Длина волны Де Бройля этой частицы . . .

*1)уменьшилась в раз; 2) увеличилась в 2 раза;

3)не изменилась; 4) увеличилась в раз; 5)уменьшилась в 2 раза.

Задание 3

Если частицы имеют одинаковую длину волны Де Бройля, то наибольшей скоростью обладает . . .

*1) позитрон; 2) нейтрон; 3) протон; 4) -частица.

Задание 4

Если частицы движутся с одинаковой скоростью то наименьшей длиной волны Де Бройля обладает . . .

*1) -частица; 2) нейтрон; 3) позитрон; 4) протон.

Задание 5

Если частицы имеют одинаковую скорость, то наибольшей длиной волны Де Бройля обладает:

*1) электрон; 2) нейтрон; 3) протон; 4) -частица.

Задание 6

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10^-3 с. Учитывая, что постоянная Планка =6,6·10^-16 эВ∙с, ширина метастабильного уровня(в эВ) будет не менее…

*1) 6,6·10^-13 ; 2) 1.5·10^-13; 3) 1,5·10^-19 ; 4) 6,6·10^-19.

Задание 7

Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

*1) 6,610^-8 ; 2) 1,510^-8; 3) 1,510^-10; 4) 6,610^-10.

Задание 8

Отношение скоростей протона и α-частицы, длины волн де Бройля которых одинаковы, равно …

*1) 4 2) 2 3) ½ 4) ¼

Задание 9

Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно …

*1) 4 2) 2 3) ½ 4) ¼

Задание10

Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

*1) 2) 1 3) 2 4) 1/

Задание11

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном 10^–3 c. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10^–34 Дж·с, ширина метастабильного уровня будет не менее …

*1) 0,66 пэВ; 2) 66 пэВ; 3) 1,52 ТэВ; 4) 0,66 нэВ.

Задание12

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10^-3 с. Учитывая, что постоянная Планка =6,6·10^-16 эВс, ширина метастабильного уровня (в эВ) будет не менее…

*1) 6,6·10^-13 2) 1.5·10^-13 3) 1,5·10^-19 4) 6,6·10^-19

Задание13

Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

*1) 6,610^-8 2) 1,510^-8 3) 1,510^-10 4) 6,610^-10

Задание 14

Отношение скоростей двух микрочастиц = 4. Если их длины волн де Бройля удовлетворяют соотношению ₂ = 2₁, то отношение масс этих частиц  равно …

*1) ½ ; 2) 2; 3) ¼; 4) 4.

Задание 15

Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

*1) 2) 1 3) 2 4) 1/

Задание 16

Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше ___ %.

*1) 16 2) 100 3) 32 4) 8

Задание 17

Отношение длин волн де Бройля для протона и α-частицы, имеющих одинаковую кинетическую энергию, равно…

^*1) 2; 2) ½; 3) 4; 5) ¼.

Задание 18

Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет  1 мм. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10^–34 Дж·с, а масса электрона  m = 9,1·10^–31 кг неопределенность в определении скорости электрона будет не менее …

*1) 0,12 м/с 2) 0,12 мм/с 3) 1,05·10^–31 мм/с 4) 1,05·10^–34 мм/с

Задание 19

В опыте Дэвиссона и Джермера исследовалась дифракция прошедших ускоряющее напряжение электронов на монокристалле никеля. Если ускоряющее напряжение увеличить в 8 раз, то длина волны де Бройля электрона _____ раз(-а).

*1) уменьшится в 2) увеличится в 8 

3) уменьшится в 4  4) увеличится в

Задание 20

Положение пылинки массой m = 10^–9 кг можно установить с неопределенностью х = 0,1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10^–34 Дж·с, неопределенность скорости v_х (в м/с) будет не менее…

*1) 1,05·10^–18 2) 1,05·10^–21 3) 1,05·10^–24 4) 1,05·10^–27.

Задание 21

Отношение длин волн де Бройля для молекул водорода и кислорода, соответствующих их наиболее вероятным скоростям при одной и той же температуре, равно…

*1) 4 2) 1/2 3) 2 4) 1/4