3.2. Уравнение Шрёдингера

Теоретическое введение

Де Бройль сопоставил свободно движущейся частице плоскую волну (смысл которой сначала был не ясен).

Заменив и на р и Е уравнение волны де Бройля пишут в виде:

Функцию называют волновой функцией, (по Борну) квадрат которой определяет вероятность нахождения частицы в пределах объема

- комплексно сопряженная .

- выражает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

Интеграл по всему пространству равен единице:

- это условие нормировки.

На - функцию налагают стандартные условия: она должна быть непрерывной, однозначной, конечной, иметь непрерывную и конечную производную.

Таким образом, квантовая механика имеет статистический характер, она определяет лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства.

Волновая функция является решением уравнения Шрёдингера, полученным им в 1926 оду Общий вид его:

(2)

m – масса частицы,

i- мнимая единица,

U – потенциальная энергия частицы.

- оператор Лапласа

Это уравнение не выводится и получено Шредингером из оптико-механической аналогии уравнений светового луча и траекторий движения частиц.

В случае, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (U явно не зависит от t) то волновую функцию можно разбить на две части, зависящих от координат и времени.

При подстановке во временное уравнение Шредингера (2) и после сокращения на придем к уравнению Шрёдингера для стационарных состояний

(3)

или

Теперь плотность вероятности

В связи с принципом неопределенности и введением волновой функции принцип причинности в квантовой механике видоизменяется. Если по силовому полю и начальным условиям решая уравнения Ньютона в классической механике мы определяем положение и скорость частицы, то в квантовой механике, зная волновую функцию и силовое поле можем найти волновую функцию при помощи уравнения Шредингера в любой момент времени.

Запишем стационарное уравнение Шрёдингера для частицы, движущейся в различных силовых полях

а) Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:

;

б) Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение:

;

в) Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение:

.

Задания к теме

Задание 22

Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 23

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 24

Электрону, движущемуся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, соответствует уравнение . . .

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 25

Установите соответствие уравнений Шрёдингера их физическому смыслу

1	Нестационарное	А
2	Стационарное для микрочастицы в потенциальной одномерной яме	Б
3	Стационарное для электрона в атоме водорода	В
4	Стационарное для гармонического осциллятора	Г
		Д

*1) 1-Г, 2-В, 3-А, 4-Б; 2) 1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В; 3) 1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В;

4)1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.

Задание 26

Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение . . .

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 27

Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение…

*1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 28

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид:

,

где U- потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в атоме водорода соответствует уравнение…

*1) ; 2) ;

3) ; 3) .

Задание 29

Квадрат модуля волновой функции , входящей в уравнение Шрёдингера, равен …

*1) плотности вероятности обнаружения частицы в соответствующем месте пространства;

2) импульсу частицы в соответствующем месте пространства;

3) энергии частицы в соответствующем месте пространства.

Задание 30

С помощью волновой функции , входящей в уравнение Шрёдингера, можно определить …

*1) вероятность обнаружения частицы в любой точке пространства;

2) импульс частицы в любой точке пространства;

3) траекторию движения частицы.

Задание 31

Состояние микрочастицы в данном состоянии описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет…

*1) плотность вероятности микрочастицы в данном состоянии;

2) кинетическую энергию микрочастицы в данном состоянии;

3) потенциальную энергию микрочастицы в данном состоянии;

4) вероятность нахождения микрочастицы в данном состоянии.

Задание 32

Вероятность dP(x) обнаружения электрона вблизи точки с координатой x на участке dx равна…

*1) dP(x)= │Ψ(x)│² dx; 2) dP(x)=Ψ(x²)·dx;

3) dP(x)= Ψ²(x)·dx; 4) dP(x)= Ψ(x)·dx.

Задание 33

В стационарных состояниях, описываемых волновой функцией

,

плотность вероятности данного состояния…

*1) не зависит от времени; 2) зависит от времени гармонически;

3) зависит от времени по экспоненте; 4)зависит от времени линейно.