Методы решения задач коммерческой деятельности
1) Геометрический метод. Основан на построении многогранника решений, каждая вершина которого определяет опорный план. Если основная задача имеет оптимальный план, то целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в 1 из вершин многогранника решений. Если максимальное (минимальное) значение достигается > чем в 1 вершине, то целевая функция принимает его в любой точке, являющейся линейной комбинацией этих вершин. Алгоритм метода:
1. на плоскости строят прямые, уравнения которых получают из ограничений задачи путём замены знаков неравенств в ограничениях на знаки точных равенств
2. находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи
3. строят многоугольник решений
4. строят вектор N, указывающий направление возрастания целевой функции
5. строят нач прямую целевой функции с1х1+с2х2=0 и передвигают её в направлении вектора N до крайней угловой точки многоугольника решений. При этом находят точку, в которой целевая функция принимает максимальное (мин) значение, либо множество точек с одинаковым макс (мин) значением целевой функции
6. определяют координаты точки максимума (мин) функции и вычисляют значения целевой функции в этой точке
Пример 1. Найти макс и мин линейной функции F(X вектор)=(-2х1+4х2) при условиях:
3х1-х2≤6
-х1+2х2≤5
Х1+х2≥1
Х1,2>0
Решение: строим на плоскости многоугольник решений. Для его построения в неравенствах системы ограничений заменяем знаки неравенств на знаки точных равенств:
3х1-х2=6 (1)
-х1+2х2=5 (2)
(4)
F(X)->max
N (-2,4)
(1)
B
(2)
(3)
(5)
-5
-5
-5
-6
F(X)
A
Для нахождения точек экстремума строим нрачальную прямую и вектор N. Передвигая прямую F(X)=0 в сторону возрастания значений вектора N определяем точку или их множество, в которой целевая функция имеет макс. В данной задаче F(X) сливается с ограничением (2). Таким образом целевая функция принимает максимальное значение в любой точке, лежащей на отрезке (A,B). Точка А получена пересечением прямых (2) и (4), а В – (2) и (1). Из первого х1=0, х2 =2.5, Fa(X)=10; из второго x1=3.4, x2=4.2, Fb(X)=10. Fa(X)=Fb(X) – проверка.
Если решается задача на определение целых значений (например, количества изделий), то полученные значения х1 и х2 округляют в меньшую сторону до целого. Например, в данной задаче х1=0, х2=2 для Fa, x1=3, x2=4 для Fb. В начале задачи были записаны ограничения вида х1>0, x2>0. Следовательно точку А нельзя рассматривать как удовлетворяющую решению задачи, так как в ней получили х1=0. Аналогично решается задача на минимум, но при этом прямая F(X)=0 перемещается вдоль N в сторону отрицательных значений до точки С(2,0), полученной пересечением (1) и (5). Fc(X)=-4.
Пример 2: коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже 2 видов краски для внутренних (В) и наружных (Н) работ, поступающая в продажу по цене 3 и 2 тыс. руб. за 1т соответственно. Для производства красок используют 2 вида сырья А и С, расходы которого и суточные запасы сведены в таблицу:
Сырьё |
Расход на 1 т |
Запасы |
|
Н |
В |
||
А |
0.5 |
1 |
3 |
С |
1 |
0.5 |
4 |
Цена 1 т, тыс. руб |
2 |
3 |
->max |
Изучение спроса показывает, что суточный спрос на краску В ≤ спрос на Н > чем на 1.5 тонны, а спрос на В никогда не превышал 2 т/ сут. Необходимо определить, какое количество краски каждого вида необходимо производить фабрике, чтоб доход от её реализации был макс.
Решение: строим мат модель задачи Хн и Хв соответственно. Критерием оптимальности является макс доход и целевая функция: F(X)=(2Xн+3Хв)->max
Данная задача решается в рамках ограниченных ресов:
0.5Хн+Хв≤3
Хн+0.5Хв≤4
Хв-Хн≤1.5
Хв≤2
Хн, Хв>0 – производство обоих видов краски
0.5Хн+Хв=3 (1)
Хн+0.5Хв=4 (2)
Хв-Хн=1.5 (3)
(3)
D
F(X)=0
N(2,3)
(4)
(2)
(1)
Хн
Хв
(6)
(5)
Точка D:
0.5Хн+Хв=3 и Хв-Хн=1.5 -> Хв=4/3, Хн=10/3
F(X)=32|3
Ответ: F(X)->max=32|3 тыс руб при Хн=10/3 тонн, Хв=4/3 тонн в сутки
Если при решении задачи визуально появляются сомнения, например, С и D близки, то можно сделать доп расчёт точки С и сравнить между собой.