5. Математические модели скоростного гироскопа

Повороты рамки скоростного гироскопа с ротором, как и всякой динамической системы, обладающей инерцией, описываются дифференциальными уравнениями ее движения. При составлении этих уравнений используется закон Ньютона для вращательного движения механической системы. Согласно этому закону вращение рамки относительно ее оси описывается уравнением:

, (5)

где: - угол поворота рамки;

- момент инерции рамки с ротором относительно оси рамки;

- сумма всех моментов, действующих на рамку.

Такими моментами являются следующие четыре момента:

- гироскопический момент ротора ;

- момент пружины ;

- момент демпфера (демпфирующий момент) ;

- возмущающий момент , обусловленный, главным образом, трением в подшипниках оси рамки гироскопа.

В приведенных соотношениях:

- коэффициент жесткости пружины, т.е. соотношение между углом поворота рамки и моментом, создаваемым пружиной при ее растяжении;

- коэффициент демпфера, описывающий соотношение между угловой скоростью вращения рамки и моментом, создаваемым демпфером. Этот коэффициент зависит от конструкции демпфера.

С учетом выражений для моментов уравнение (5) можно переписать в следующем виде:

. (6)

Разделив левую и правую части этого уравнения на и введя новые обозначения, получаем уравнение движения скоростного гироскопа в стандартной форме, принятой в теории управления, в виде линейного уравнения второго порядка:

. (7)

В этом уравнении:

- механический (без учета потенциометрического датчика) передаточный коэффициент гироскопа. Этот коэффициент имеет размерность [ ];

- постоянная времени гироскопа, имеющая размерность [сек];

- относительный коэффициент демпфирования колебаний рамки гироскопа – безразмерная величина;

- нормированный возмущающий момент.

Учет потенциометрического датчика. Выходной сигнал гироскопа снимается с потенциометрического (электрического) датчика. Если не учитывать ограничение на максимально возможный угол поворота рамки , то связь между углом поворота рамки и напряжением описывается линейным алгебраическим соотношением вида:

. (8)

Учитывая это соотношение и не рассматривая возмущающий момент , уравнение динамики гироскопа (7) можно переписать так:

, (9)

где .

Применив к уравнению (9) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получаем передаточную функцию скоростного гироскопа, связывающую изображения по Лапласу выхода и входа в виде колебательного звена:

. (10)

Постоянная времени гироскопа является основным динамическим параметром гироскопа. Она характеризует инерцию гироскопа, т.е. быстроту реакции гироскопа на меняющееся входное воздействие – угловую скорость . Для современных скоростных гироскопов ее величина составляет 0.01…0.05 сек.

Коэффициент демпфирования характеризует скорость затухания колебаний рамки при скачкообразном изменении угловой скорости . Как показано в курсе теория управления, оптимальным является значение . Для скоростного гироскопа оптимальное значение коэффициента демпфирования достигается путем изменения коэффициента демпфера .

Коэффициент усиления гироскопа имеет размерность [ ].

На схемах и в пакете Simulink системы программирования Matlab передаточную функцию колебательного звена представляют в виде, показанном на рис. 4.

Рис. 4. Схематическое изображение колебательного звена

Нелинейности гироскопа. Соотношения (9) и (10), описывающие динамику гироскопа, являются линейными. Это означает, что при изменении входного сигнала гироскопа в некоторое число раз, выход гироскопа изменится в такое же число раз.

В реальном скоростном гироскопе существуют различные нелинейности. Среди них основными являются следующие две:

- ограничение на максимальную угловую скорость , которую может измерять гироскоп;

- зона нечувствительности, обусловленная так называемым сухим трением в подшипниках рамки гироскопа.

Ограничение на максимальную угловую скорость связано с максимально возможными углами поворота рамки гироскопа или максимально возможным напряжением на выходе потенциометрического датчика .

Наличие сухого трения приводит к тому, что сигнал на выходе гироскопа соответствует не фактической угловой скорости , а меньшей по модулю величине . Величина обусловлена моментом сухого трения, действующим на рамку гироскопа.

Учет ограничения. Для построения математической модели гироскопа с учетом ограничения на максимальную измеряемую угловую скорость можно предполагать, что это ограничение обусловлено ограничением на величину напряжения на выходе потенциометрического датчика .

Обозначим через напряжение на выходе гироскопа с учетом ограничения потенциометрического датчика и, как и ранее, через - напряжение на выходе датчика без учета ограничения. Связь между этими двумя величинами описывается нелинейным соотношением:

. (11)

Согласно (11), до тех пор, пока сигнал на выходе датчика не превышает по модулю максимально возможное значение , выход гироскопа равен Если же напряжение превышает по модулю величину , выходной сигнал гироскопа становится постоянным, равным .

Напряжению можно поставить в соответствие максимальную угловую скорость , которую может измерять скоростной гироскоп.

Соотношение вида (11) называют нелинейным звеном типа насыщение - saturation . На схемах и в пакете Simulink системы программирования Matlab это звено представляют в виде, показанном на рис. 5.

Рис. 5. Схематическое изображение нелинейного звена типа насыщение

Учитывая это нелинейное звено, математическую модель скоростного гироскопа можно представить с помощью двух звеньев – инерционного линейного (передаточной функции гироскопа) и безынерционного нелинейного (звена типа насыщение), соединенных последовательно друг с другом (рис. 6).

Рис. 6. Блок-схема математической модели скоростного гироскопа, учитывающей нелинейность типа насыщение

Учет сухого трения. Как указывалось выше, в реальном скоростном гироскопе возможна еще одна нелинейность - типа зона нечувствительности. Эта нелинейность появляется из-за возмущающего момента, действующего на рамку гироскопа, вызываемого сухим трением в подшипниках рамки гироскопа.

Момент сухого трения постоянен по величине и имеет знак, противоположный знаку гироскопического момента. При наличии на рамку гироскопа действует не гироскопический момент , а разность . При этом поворот рамки гироскопа под действием начинается лишь при выполнении условия , т.е. в тот момент, когда гироскопический момент начинает превышать момент сухого трения.

Из условия и учитывая, что , можно найти зону нечувствительности гироскопа по измеряемой угловой скорости - минимальную по модулю угловую скорость , при которой сигнал на выходе датчика еще равен нулю. Этой угловой скорости соответствует сигнал на выходе датчика: .

С учетом сухого трения связь между и описывается нелинейным соотношением:

. (12)

В литературе нелинейное звено с такой характеристикой называют звеном типа зона нечувствительности (или мертвая зона - dead zone). На схемах и в пакете Simulink такое звено изображают в виде, показанном на рис. 7.

Рис. 7. Схематическое изображение нелинейного звена типа зона нечувствительности

Блок-схема математической модели скоростного гироскопа и одновременно программы, реализующей эту модель в Simulink, при наличии обоих нелинейных звеньев, представлена на рис. 8.

Рис. 8. Блок-схема математической модели скоростного гироскопа с учетом двух нелинейностей