2. Кривошип и шатун расположены на одной прямой

В этом положении мгновенный центр скоростей находится в точке В, поэтому скорость V_B равна нулю.

Скорость точки С находится из пропорции:

Угловая скорость шатуна равна

3 . Кривошип занимает вертикальное положение . В этом случае мгновенный центр скоростей шатуна находится в бесконечности, скорости всех его точек равны, угловая скорость шатуна равна нулю.

План скоростей

План скоростей представляет собой графический метод определения скоростей точек плоской фигуры. Для его построения необходимо знать модуль и направление одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки.

Пусть известны вектор скорости точки А и направление скорости точки В . Определить модуль скорости точки В.

Скорость точки В определяется формулой

.

В этой формуле известны направление и модуль скорости точки А, направление скорости точки В и направление скорости , так как .

Выбираем произвольный центр О и в произвольно выбранном масштабе откладываем вектор . Из этой же точки поводим прямую, параллельную скорости точки В (рис.а), затем из точки а проводим прямую, параллельную скорости , т.е. перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения прямых, одна из которых параллельна , другая - , определяет точку в, полученный вектор а вектор .(рис.б)

Определим на плане скоростей модуль и направление скорости точки С. Выбираем за полюс точку А, тогда . Если бы была известна скорость , то, отложив от точки а вектор , получили бы вектор Но известно только направление этого вектора , поэтому учтем, что конец вектора на плане скоростей (б) лежит на прямой, проведенной из точки а перпендикулярно АС.

С другой стороны,

, где .

Это означает, что конец вектора (рис.с.) должен находится на прямой, проведенной через точку в перпендикулярно отрезку ВС.

Таким образом, конец скорости находится в точке с пересечения прямых, перпендикулярных к отрезкам АС и ВС, т.е. на плане скоростей . Как следует из построения, треугольники АВС и авс подобны и повернуты друг относительно друга на угол 90⁰.

Задача. Определить скорости точек В и С шатуна кривошипно-шатунного механизма (рис.а) путем построения плана скоростей, если известно, что угловая скорость кривошипа ОА равна ω и АС = СВ.

Построение плана скоростей.

Скорость точки А перпендикулярна кривошипу и равна

V_A = ω OA.

Скорость точки В направлена горизонтально влево.

, .

В ыберем полюс (б) и отложим из него в выбранном масштабе вектор . (рис.б). Из этого же полюса проведем прямую, параллельную вектору . Затем из конца вектора поведем прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Точка пересечения этой прямой и прямой, параллельной , определяет конец вектора .

Аналогично, , .

Кроме того,

Для того, чтобы определить вектор , разделим на плане скоростей отрезок ав пополам, полученную точку с соединим с точкой О вектором .

Ускорения точек плоской фигуры.

Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, принимаемой за полюс, и вращательное движение вокруг этого полюса.

Следовательно, ускорение любой точки при плоском движении равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения выбранного полюса, и ускорения, полученного данной точкой при ее вращательном движении вокруг полюса.

Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры тогда ускорение другой точки этой фигуры будет равно

,

где ускорение вращательного движения точки А вокруг точки В раскладывается на нормальное и касательное ускорения:

Касательное ускорение вращательного движения точки вокруг полюса направлено перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и равно

Нормальное ускорение направлено по отрезку ВА к полюсу А и равно

Окончательно, полное ускорение точки В равно геометрической сумме трех ускорений: ускорения выбранного полюса А, нормального и касательного ускорений вращательного движения точки В вокруг этого полюса:

План ускорений

Ускорения точек плоской фигуры могут быть определены графически с помощью плана ускорений. Этот метод позволяет находить ускорение точки плоской фигуры при условии, что известна траектория этой точки, ее скорость и ускорение одной из точек этой фигуры.

Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры, скорость точки В и ее траектория векторы на нем изображены без соблюдения масштабов).

Так как точка В совершает криволинейное движение, то ее ускорение раскладывается на нормальную и касательную составляющие:

. (а)

Оба ускорения известны по направлениям, ускорение направлено по касательной к траектории движения точки В, - по главной нормали.

Модуль нормального ускорения определяется по формуле для криволинейного движения

,

где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Модуль касательного ускорения не определяется, так как закон движения точки В не задан. Следовательно, на основе анализа криволинейного движения полное ускорение точки найти не удается.

Проведем анализ плоского движения твердого тела, которому принадлежит точка В.

Плоское движение можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с точкой А и вращательного вокруг этой точки. В этом случае ускорение точки В выражается через ускорение точки А, модуль и направление которого известны, т.е.

, (б)

где и является полным ускорением точки В во вращательном движении плоской фигуры вокруг точки А.

В равенстве (б) все составляющие ускорения точки В известны по направлению. Ускорение точки А задано, ускорение направлено по прямой ВА к точке А, касательное ускорение - перпендикулярно прямой ВА.

Модуль ускорения определяется по формуле вращательного движения точки В вокруг точки А

,

где ω - угловая скорость плоской фигуры, ВА - радиус вращения.

Касательное ускорение по величине не определено.

Приравняем правые части выражений (а) и (б).

Д ля графического определения ускорения точки В используем выражения (а) и (б).

В этом равенстве одной чертой подчеркнуты векторы, у которых известно только направление, двумя чертами – векторы, для которых известны и направление и модуль.

Выберем неподвижную точку О за полюс и масштаб, в котором будем откладывать векторы ускорений. Отложим из точки О вектор и проведем к нему под прямым углом прямую, которая соответствует направлению вектора .

Из этой же точки О отложим вектор . Из конца этого вектора отложим вектор и проведем к нему перпендикулярную прямую, которая определяет направление вектора . Точка в пересечения прямых, соответствующих направлениям векторов и , определяет конец вектора . Соединим точки О и в (рис. 3.43) и получим в выбранном масштабе ускорение точки В.

Так как , то, соединив, на графике точки а и в получим полное ускорение вращательного движения точки В вокруг точки А.

Определим на графике ускорение точки С, которая делит расстояние между точками А и в пополам. Ускорение этой точки также можно выразить через ускорение точки А:

.

Ускорения точек при вращательном движении пропорциональны радиусам вращения, поэтому

.

Следовательно, для того, чтобы получить ускорение , достаточно на графике разделить расстояние ав пополам, полученную точку обозначим буквой с . Отрезок ас определяет величину ускорения . Соединяя точку с с точкой О получим на графике ускорение точки С плоской фигуры .

Задача. Построим план ускорений для механизма, в положении, указанном на рис. 3.45, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 2 1/с, ОА = ВА =0,6м, СВ = 0,3 м, φ = 30⁰.

Решение. При равномерном вращении кривошипа касательное ускорение точки А будет равно нулю, поэтому полное ускорение равно нормальному ускорению,

Вектор нормального ускорения направлен вдоль АО и равен

Ускорение точки В равно

. (а)

Ускорение точки В направлено горизонтально, так как ползун движется в горизонтальный направляющих, ускорение направлено к точке по прямой АВ, и равно

,

где ω_АВ - угловая скорость шатуна АВ.

Угловую скорость звена АВ можно определить с помощью мгновенного центра скоростей который находится в точке Р пересечения перпендикуляров к скоростям в точках А и В.

Из треугольника ОАВ АВ = ОА tg60⁰,

Из треугольника АВР:

АР = АВ tq 60⁰ = OA tq² 60⁰ =1,8 м.

Тогда

.

Таким образом, в равенстве (а) векторы и известны по модулю и направлению, ускорения и только по направлению. Ускорение направлено вдоль направляющих, ограничивающих движение ползуна, ускорение - перпендикулярно АВ

Используя все полученные значения, строим план ускорений Выберем неподвижную точку О за начало ускорений всех точек звена АВ и установим масштаб для изображения ускорений. Проведем из точки О прямую, параллельную вектору . Отложим из этой же точки вектор , конец которого обозначим буквой а. Из точки а отложим вектор (проведем прямую параллельную АВ), из конца этого вектора проведем прямую, параллельную вектору (перпендикулярно отрезку АВ) и продолжим ее до пересечения с направлением вектора . Полученную точку пересечения обозначим буквой в. Соединим точку О с точкой в, полученный отрезок OB в выбранном масштабе является ускорением точки В. Соединим точки а и в , полученный отрезок ав в выбранном масштабе представляет собой полное ускорение вращательного движения точки В вокруг точки А.

Д ля того, чтобы определить ускорение любой точки D шатуна АВ, следует отрезок ав, представляющий собой вращательное ускорение точки В вокруг точки А, разделить точкой d в пропорции:

.

Соединив точку d с точкой О, получим ускорение точки D шатуна АВ. Например, если AD = 0,25 AB, то, отложив из точки а отрезок ad = 0,25 ab, получим на графике точку d. Значит, отрезок Оd в выбранном масштабе является ускорением точки D шатуна.