Кинематика

Векторный способ задания движения точки

П оложение точки М в пространстве будет вполне определено, если ее радиус-вектор. проведенный из какого–либо заданного центра О, известен как функция времени, т.е. если является векторной функцией скалярного аргумента t.

Уравнением движения точки называется зависимость радиуса - вектора от времени:

Годографом называется геометрическое место точек концов переменного вектора, отложенного из одной и той же точки.

Таким образом, траекторией точки при векторном способе задания является годограф радиуса - вектора этой точки.

Основные понятия векторного способа задания движения точки.

1. Положение точки в пространстве будет однозначно определено, если будет известен как функция времени ее радиус-вектор, проводимый из неподвижного центра.

2. Траекторией точки является годограф радиуса-вектора.

3. Скоростью точки называется векторная производная от вектора скорости по времени.

4. Ускорением точки называется векторная производная от вектора-скорости по времени.

Координатный способ задания движения точки

Положение точки в пространстве относительно выбранной системы координат определяется координатами x, y, z.

Уравнения движения точки представляют собой зависимость координат движущейся точки от времени:

Траектория точки. Уравнения движения точки представляют собой одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t.

Д ля того, чтобы получить выражение траектории в координатной форме, необходимо каким-то образом исключить из уравнений движения время t.

Значения проекций скорости на оси координат:

Модуль вектора скорости равен

.

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами углов, которые вектор скорости образует с координатными осями:

Значения проекций вектора ускорения на оси координат:

(1.7)

Модуль ускорения

Направляющие косинусы вектора ускорения равны

Естественный способ задания движения точки.

Этот способ применяется в том случае, когда траектория, по которой движется точка, известна.

Выберем на траектории фиксированную точку О и направление положительного отсчета дуги.

Положение точки М в любой момент времени будет определяться значением дуговой координаты S = OM, отсчитываемой от точки О.

Законом движения точки называется зависимость дуговой координаты от времени:

.

Проекция вектора скорости точки на касательную равна производной от дуговой координаты по времени.

.

Вектор ускорения равен геометрической сумме векторов, один из которых направлен по касательной, а другой - по главной нормали.

Проекция ускорения на называется касательным ускорением

.

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением

.

Так как составляющие ускорения и взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен .