2.1.1. Одноканальна система масового обслуговування

Одноканальна система масового обслуговування – це найпростіша СМО, за допомогою якої можна розглянути деякі закономірності управління виробництвом.

На вхід одноканальної системи, що має один канал обслуговування, надходить потік замовлень з інтенсивністю . Замовлення, що надійшло у момент, коли система вільна, відразу ж починає обслуговуватись. Наступне замовлення, яке надходить коли канал обслугування зайнятий, отримує відмову (рис.2). Час обслугування замовлення є випадковим, але на виході створюється потік обслугування з інтенсивністю , що визначається середнім часом обслуговування.

Наприклад, якщо середній час обслугування одного замовлення складає 0.2 хвилини, то інтенсивність потоку обслугування  = 1 / 0.2 = 5.

П

Станція

отік замовлень Потік обслугування

Рис 2. Потік замовлень і потік обслугування в системі масового обслугування.

Одноканальна СМО може знаходитися лише в одному з двох станів: S0- канал вільний, S1 – канал зайнятий. Граф станів імовірних переходів із одного стану в інший наведений на рис. 3.



S0

S1



Рис.3. Граф одноканальної СМО з відмовами.

Позначимо - р₀ ймовірність знаходження СМО у стані S0. Відповідно р₁ – ймовірність того, що система знаходиться у стані S1. Оскільки система завжди знаходиться в одному з двох станів, то сума імовірностей дорівнює 1:

p₀+р₁ = 1.

Дії, що виводять її із стану S0 мають врівноважуватися діями, що повертають систему в стан S0, отже

р₀ = р₁.

З цього виразу визначаємо

р₁=( p₀ ) / 

Враховуючи, що сума імовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо

р₀+(р₀)/ =1

Отже,

p₀=1/(1+/)=/() (1.7)

І відповідно,

p₁ = p₀ = . (1.8)

Основні показники СМО з відмовами: відносна пропускна здатність, абсолютна пропускна здатність, а також ймовірність отримання відмови.

Відносна пропускна здатність q визначається ймовірністю того, що в момент надходження замовлення канал вільний і воно буде обслуговуватись, тобто для одноканальної системи q = p₀. У границі, коли вже процес установився, значення відносної пропускної здатності СМО буде дорівнювати

Q =   (  ) (1.9)

Абсолютна пропускна здатність А визначається добутком відносної пропускної здатності на інтенсивність потоку замовлень.: А = q . У границі вона стає рівною:

A =     (  ). (1.10)

Ймовірність того, що замовлення буде обслуженим, визначається р₀, а імовірність отримання відмови – р₁. Таким чином,

P_{відмови}=p₁=() (1.11)

2.1.2. Багатоканальні системи масового обслуговування

Багатоканальні системи масового обслуговування використовуються для підвищення пропускної спроможності СМО (наприклад збільшується число ліній зв’язку в телефонній мережі або кількість контрольних приладів на виробництві, тощо).

На перший погляд, чим більшу кількість каналів ми встановимо, тим краще і зручніше для користувача, але загальна ефективність системи при цьому може знизитись, оскільки кожний новий канал потребує додаткових витрат на встановлення та обслуговування.

Граф двоканальної системи масового обслуговування з відмовами буде мати вигляд, наведений на рис 4.

 

S0

S1

S2

 

Рис.4. Граф двоканальної системи масового обслуговування.

Стан S0 –обидва канали вільні, стан S1 - в СМО є одне замовлення і один канал зайнятий, а другий вільний, стан S2 – обидва канали зайняті обслугуванням замовлень і наступним замовленням буде даватися відмова. Із стану S0 у стан S1 систему переводить потік замовлень з інтенсивністю . Як тільки надходить перше замовлення, один канал стає зайнятим, той же потік з інтенсивністю  переводить СМО з першого стану у другий, коли зайняті обидва канали.

Якщо у системі зайнятий один канал (стан S1), то цей канал здійснює  обслуговувань за одиницю часу. Тепер нехай система знаходиться у стані S2, тобто в ній працюють два канали. У стан S1 система буде переходити, якщо обслугування закінчив або перший, або другий канал. Таким чином, сумарна інтенсивність потоку обслугування буде дорівнювати 2.

Для стану S0 баланс дій буде: .

(1.12)

Звідси отримуємо:

(1.13)

Для стану S1 баланс дій визначається:

З урахуванням того, що  р₁ =  р₀ (з 1.12) , отримуємо

2  р₂ =  р_1,

або інакше

(1.14)

Оскільки сума усіх імовірностей має дорівнювати 1, отримуємо

Звідси витікає:

(1.15)

Граф станів трьохканальної системи масового обслуговування з відмовами має вигляд, наведений на рис.5.

S0

S1

S2

S3

  

  3

Рис.5. Граф трьохканальної СМО з відмовами.

Повторимо висновки, аналогічні попереднім, за формулами 1.12-1.15 отримуємо для стану S2 баланс дій:

р₂ +2р₂ = р₁ +3р₃ (1.16)

Звідси

(1.17)

Якщо сума ймовірностей дорівнює 1, то

Звідси

(1.18)

Таким чином, для n-канальної системи масового обслуговування з відмовами граф станів має вигля, наведений на рис.6.

S0

S1

S2

S3

Sn

    

 2 3 4 n

Рис.6. Граф станів багатоканальної СМО.

Такою ж процедурою, що здійснювалась для 2- та 3- канальних СМО, можна отримати ймовірність перебування системи у кожному стані j (j=1,…n):

(1.20) Ймовірність того, що всі канали вільні:

(1.21)

Ймовірність відмови ( тобто ймовірність того, що усі канали зайняті) дорівнює p_n , а відносна пропускна здібність такої системи:

q = 1 - p_n .

Звичайно, чим більша кількість каналів, тим вища ймовірність обслугування, але при цьому може знизитися ефективність роботи системи із-за простою у цих каналах та зайвих витрат на їх обслугування.

Для багатоканальних СМО вводиться ще один параметр – середнє число зайнятих каналів:

(1.16)