Розв’язання

Дану задачу можна представити у вигляді одноканальної системи з обмеженою чергою. Число місць у черзі m. Якщо усі місця зайняті, то чергове замовлення, що надходить у систему, отримує відмову. Граф станів такої системи:

   

S₀

S₁

S₂

S_m+1

   

Рис.8.

Стани системи:

S₀ – канал вільний;

S₁ – канал зайнятий, іде обслугування, але черги немає;

S₂ – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;

S₃ - канал зайнятий, у черзі - два замовлення;

…

S_m+1 – канал зайнятий, у черзі знаходиться m замовлень.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

 p₀ =  p₁ ;

(  +  ) p₁ =  p₀ +  p₂ ;

… …

(  +  ) p_m =  p_m-1 +  p_m+1 ;

p₀ + p₁ + p₂ + … + p_m + p_m+1 = 1.

Введемо позначення  =  / , отримуємо імовірність вільного каналу:

р₀ = 1 / ( 1 +  + ² + … + ^m+1 ) = (1 -  ) / ( 1 - ^m+2 );

p_k = ^k  p₀,

де k = 1,2,3,…m+1.

Імовірність відмови - p_m+1.

Середня кількість замовлень у черзі:

де p_k - імовірність того, що у черзі знаходиться k-1 замовлення.

Середній час очікування у черзі : W_q=L_q / .

Нехай інтенсивність прибуття машин  = 2,5, а інтенсивність обслуговування  = 1,5.

За результатами розрахунків у програмі MathCad отримуємо  =  /  = 1,667.

Якщо кількість місць у черзі m = 1, то імовірність відмови p_m+1 = 62,5%, а середній час очікування у черзі дорівнює 0,25 хвилин.

Якщо кількість місць у черзі m = 6 то імовірність відмови p_m+1 = 41,2%, а середній час очікування у черзі дорівнює 2,5 хвилин.

Видно, що якщо  > 1, то при великих m імовірність відмови стабілізується і стає рівною (  - 1 ) / .

Щоб суттєво знизити імовірність відмови, необхідно ( якщо неможна зменшити ) преходити до багатоканальної системи, тобто робити декілька площадок для розвантаження.

Завдання 2

На підприємство переробної галузі прибувають машини з сировиною.

Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень  і інтенсивність потоку обслуговувань (розвантаження машин) . При цьому може утворюватись черга.

Менеджерів по постачанню цікавить ймовірність черг, їх розмір і ймовірність відсутності черги.

Розв’язання

Дану задачу можна представити у вигляді одноканальної системи з необмеженою чергою. Граф станів такої системи показаний на рис..

    

S₀

S₁

S₂

S_k+1

    

Рис.9 .

Стани системи:

S₀ – канал вільний ( черги немає );

S₁ – канал зайнятий ( розвантажується одна машина);

S₂ – канал зайнятий, у черзі стоїть одне замовлення;

S₃ – канал зайнятий, у черзі стоять два замовлення;

…

S_k+1 - канал зайнятий, у черзі стоять (k-1) замовлень.

Ця система характеризується нескінченним числом дискретних станів.

Імовірність обслугування без черги ( стан S₀)

p₀ = 1 - 

Імовірність черги з k замовлень:

p_k+1 = ^k+1 p₀.

Якщо умова  < 1 (<) не виконується, то стаціонарний режим у системі, що розглядається, не утворюється і черга при t   росте необмежено.

Проведемо розрахунки за допомогою програми MathcCad.

За результатами розрахунків <1, тобто у системі утворюється стаціонарний режим.