102. 14. Обчислення границь функцій

На підставі теорем про границі, а також властивостей нескінченно малих і нескінченно великих функцій можна зробити наступний висновок: щоб обчислити границю функції при , необхідно у функцію підставити замість його граничне значення і обчислити результат.

Наприклад,

.

Оформляють запис так: .

При обчисленні границі функції при в знаменнику дробу одержуємо нуль, тоді результат обчислень беруть у квадратні дужки, підкреслюючи символіку записів; тут нуль є символом нескінченно малої. Записують так:

.

Якщо ж у результаті підстановки замість його граничного значення виходять так звані невизначеності , , , , , , , для обчислення границі приходиться проводити перетворення функції, говорять, “звільнятися від невизначеності”.

Зокрема, якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-раціональної чи дробово-ірраціональної функції при , необхідно в чисельнику і знаменнику дробу виділити нескінченно малу і скоротити на неї. Відзначимо, що ділення чисельника і знаменника дробу на нескінченно малу функцію можливо, оскільки це не нуль, а реальна величина, що змінюється так, що її значення можуть бути як завгодно малими.

Приклад 2.7. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередня підстановка у функцію граничного значення аргументу приводить до невизначеності вигляду . Вирази чисельника і знаменника містять у собі нескінченно малу :

, .

Тому .

Приклад 2.8. Обчислити .

Розв’язання. Тут безпосередня підстановка у функцію приводить до невизначеності . Щоб виділити в чисельнику нескінченно малу при помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений чисельнику (позбудемося від ірраціональності в чисельнику):

.

Тоді

.

Розповсюджена границя відношення многочленів при прямуванні аргументу до нескінченності, що дає невизначеність :

Тут .

Наприклад, , і т.д.

Невизначеності і приводять до невизначеностей або , перетворивши досліджувану функцію у дріб.

Приклад 2.9. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість граничного значення одержимо невизначеність .

Перетворимо досліджувану функцію, помноживши і розділивши її на суму , одержимо

.

Тоді

103. 15. Істотні границі Перша істотна границя

Розглянемо границю . Функція парна, . За умовою , тому досить розглянути значення x, що задовольняють нерівності .

Візьмемо дугу кола радіуса і кут, радіанна міра якого дорівнює (рис. 2.31). На рис. 2.31:

Рис. 2.31.

Порівняємо площі трикутника , сектора і трикутника , що відповідно дорівнюють , , або , , . Очевидно , звідки . Розділимо останні нерівності на і одержимо , .

Функція розташована між функціями і , причому , тому за теоремою 2.5 одержимо

. (2.5)

Границя (2.5) називається першою істотною границею. Використовуючи першу істотну границю можна показати, що

. (2.6)

Дійсно, ,

і також

. (2.7)

Замінимо , звідки , причому при , . Одержимо .

Аналогічно,

. (2.8)

Границі 2.5–2.8 допомагають розкрити невизначеність у випадку, якщо під знаком границі тригонометричні функції.

Приклад 2.10. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість граничного значення одержуємо невизначеність . Перетворимо даний дріб, застосувавши формулу , одержимо