99. 11. Границя функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може бути, самої точки . В точці функція може бути і не визначена.

Означення 2.7. Число називається границею функції при , якщо для будь-якої числової послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції прямує до числа . Позначають границю функції так: .

При цьому припускається, що послідовність належить області визначення функції.

Суть цього означення полягає в тому, що, як тільки значення аргументу необмежено близько наближаються до значення , відповідні значення функції необмежено близько наближаються до значення .

Більш строгим є наступне означення границі.

Означення 2.8. Число називається границею функції при прямуючому до , якщо для кожного скільки завгодно малого наперед заданого додатного числа можна вказати таке додатне число , що як тільки , то виконується умова .

Оскільки нерівність визначає –окіл точки на вісі абсцис, а нерівність визначає –окіл точки на вісі ординат, геометричний зміст означення 2.8 такий: для будь-якого –околу точки на вісі можна знайти такий –окіл точки на вісі , що як тільки значення аргументу попадає в –окіл точки , відповідне значення функції попадає в –окіл точки .

Приклад 2.6. Довести, виходячи з означення границі функції, що .

Розв’язання. Нехай – будь-яке, як завгодно мале, додатне число. Знайдемо таке , щоб для всіх , що задовольняють нерівність , виконувалася нерівність

або .

Очевидно, що , оскільки при такому умова приводить до виконання умови , з чого випливає, що .

Якщо розглянути графік функції, зображений на рис. 2.28, то стане ясно, що ця функція не має границі при . У такій ситуації говорять про односторонні границі функції. Якщо за умови, що значення аргументу прямують до , залишаючись менше , число називають границею функції в точці зліва, і пишуть . Аналогічно, якщо за умови, що, залишаючись більше , то називають правосторонньою границею функції в точці , і пишуть .

Рис. 2.28.

Якщо односторонні границі функції в точці існують і рівні, то функція має границю, і вона дорівнює загальному значенню цих границь.

Говорять, що границя функції при дорівнює нескінченності, якщо для кожного як завгодно великого додатного числа можна вказати таке додатне число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується умова .

У цьому випадку пишуть (рис. 2.29).

Функція має границею число при , якщо для будь-якого, скільки завгодно малого , можна вказати таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність виконується нерівність (рис. 2.30). Пишуть .

Рис. 2.29.	Рис. 2.30.