3.2.1. Определение общего земного сфероида.
Решение этой задачи заключается в том, чтоб исследуя силу тяжести для того, чтобы максимально точно определить форму фурму или тело, на которое будет редуцироваться и которое будет максимально близко похожа на форму Земли.
Рассматривая Землю как однородную вращающуюся жидкость, все массы которой взаимодействуют по закону всемирного тяготения, Ньютон показал, что фигурой Земли будет сжатый эллипсоид вращения. Позже Клеро, предположив также, что Земля жидкая, и основываясь на законах гидростатики, установил фигуру уровненной поверхности, определяющей Землю, и доказал общую теорему о распределении силы тяжести на этой поверхности. При этом Клеро считал, что плотность в Земле изменяется с глубиной так, что каждый бесконечно тонкий слой, заключенный между двумя софокусными эллипсоидами, имеет постоянную плотность. Между этими слоями плотность может изменяться по любому закону.
В этих предположениях Клеро вывел два уравнения, связывающих значения силы тяжести на земной поверхности с положением точки и сжатием Земли. Эти уравнения часто называются теоремой Клеро. Они имеют следующий вид:
γ=γe(1+βsinφ),(1)
β=
q-α.
Здесь
φ
– это широта места, q=
,
где
– угловая скорость вращения Земли, a
– большая полуось земного эллипсоида.
Если эти формулы написать для экватора и полюса их смысл легко понять. И в конечном счёте образуется выражение вида:
,
т.е. β
есть отношение избытка силы тяжести на
полюсе над силой тяжести на экваторе к
последней.
Теорема Клеро позволяет по измеренным значениям силы тяжести найти сжатие а уровненного эллипсоида и при известной из геодезических измерений полуоси а построить земной эллипсоид, или, наоборот, для известного уровненного эллипсоида найти закон изменения силы тяжести на нем.
Формулу (1) часто называют формулой нормального распределения силы тяжести в силу того, что она дает закон распределения силы тяжести на идеальной Земле, т.е. на Земле, имеющей форму эллипсоида вращения со сжатием а.
В работе Клеро предполагалось, что поверхность Земли с достаточной точностью совпадает с невозмущенной поверхностью океана, которая в свою очередь с достаточной точностью представляется эллипсоидом вращения, и что все отвесные линии на земной поверхности совпадают с нормалями к этому эллипсоиду.
Однако уже в начале XIX в. из материалов многих градусных измерений стало ясно, что различие в кривизне дуг на земной поверхности не есть следствие ошибок измерений, а реально существующий факт, и что отвесные линии не совпадают с нормалями к эллипсоиду. Тогда и было введено понятие геоида — уровненной поверхности, совпадающей на океанах с уровнем невозмущенной воды, как поверхности всюду нормальной отвесным линиям. В этом случае измеренные в триангуляции горизонтальные углы должны давать углы на геоиде, приведенные к горизонту базисы —длины дуг, параллельных геоиду, астрономические координаты φ и λ должны определять направления нормали к геоиду, а результаты нивелирования — высоты над геоидом.
Таким образом, введение геоида на первых порах не внесло ничего нового в обработку астрономо-геодезических данных, а только заменило поверхность относимости. Вместо эллипсоида в качестве фигуры Земли начали принимать геоид.
Такое представление фигуры Земли и связь астрономических и триангуляционных измерений с геоидом позволили при обработке триангуляций пользоваться методом развертывания, т.е. все измеренные на физической поверхности элементы — углы, длины, координаты — редуцировались за счет высоты точек измерений на поверхность геоида, на котором и откладывались эти редуцированные элементы. В 1849 г. Д. Г. Стокс опубликовал ставшие впоследствии знаменитыми работы, в которых, во-первых, доказал, что изменение силы тяжести на земной поверхности и зависимость его от сжатия эллипсоида не обязательно связаны с гипотезой гидростатического равновесия Земли, во-вторых, поставил и решил в частном случае задачу определения внешнего потенциала силы тяжести при данной внешней поверхности и известных на ней значениях силы тяжести и потенциала.
В качестве внешней уровненной поверхности Стокс принял эллипсоид вращения.
Часто применяется другой способ задания потенциала силы тяжести, основанный на применении сферических функций. В этом случае потенциал представляется в виде ряда. Оставляя ограниченное число членов разложения — обычно главные сферические функции нулевого, второго и четвертого порядков,— получают удобные формулы для представления потенциала и силы тяжести.
Такому заданию потенциала и силы тяжести соответствует некоторая уровненная поверхность, представляющая идеализированную Землю, но эта поверхность уже не будет эллипсоидом. Также, соответственно, не будут совпадать и потенциалы, представленные тем и другим методом. Уровненную поверхность, представляющую Землю во втором способе, близкую по форме к эллипсоиду, будем называть сфероидом. С точностью до величин порядка сжатия все способы дают совпадающие результаты.
Определенный таким образом для некоторой идеализированной Земли потенциал силы тяжести, по возможности близкий к потенциалу реальной Земли и имеющий достаточно простой вид, называется нормальным потенциалом. Он определяется для удобства решения различных задач, связанных с определением фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля. Благодаря его введению изучение самого внешнего потенциала заменяется изучением малых отступлений реального потенциала от известного нормального. Уровненная поверхность, для которой определен нормальный потенциал силы тяжести, называется нормальной.
В случае определения нормального потенциала методом Стокса это будет нормальный эллипсоид. Сила тяжести, заданная определенным таким образом потенциалом, будет называться нормальной силой тяжести.
Стоксом была решена также обратная задача — задача построения внешней уровненной поверхности (геоида) относительно уровненной поверхности нормального потенциала по значениям силы тяжести на геоиде.