3 Розрахунок перехідних процесів у лінійних електричних колах

3.1 Загальні положення

Перехідний процес – це електромагнітний процес переходу електричного кола від одного сталого стану до іншого. При цьому змінюється розподіл електричної і магнітної енергій на реактивних елементах і . Енергія магнітних і електричних полів , не може змінюватися миттєво, тому перехідні процеси завжди мають ту чи іншу тривалість і описуються двома законами комутації. Вважаючи, що причинами перехідних процесів є різного роду миттєві комутації, перший закон комутації свідчить, що в будь-якій гілці з індуктивністю потокозчеплення струм не може змінюватися стрибком:

, .

Другий закон комутації: заряд і напруга на ємності не можуть змінюватись стрибком:

, .

При перехідному процесі, як і у сталому режимі, стан електричного кола описується диференціальними рівняннями, складеними за законами Кірхгофа.

Розв’язання систем цих рівнянь і знаходження перехідних функцій протягом перехідного процесу і є метою такого розрахунку.

Електромагнітні перехідні процеси, як правило, тривають короткий час: їх тривалість звичайно вимірюється в мілісекундах і навіть в мікросекундах, рідко становить декілька секунд. Однак у цей час напруги та струми в елементах можуть значно перевищувати сталі значення. Знання цих максимальних значень необхідне для правильного вибору елементів, настроювання захисту і т.п.

Основними методами розрахунку перехідних процесів є класичний і

операторний.

У класичному методі розрахунку перехідну функцію струму знаходять як суму вільної і примушеної складової:

,

де – окремий розв’язок диференціального неоднорідного рівняння, що описує перехідний процес, це є нове стале значення струму по закінченні перехідного процесу;

– результат розв’язання однорідного диференціального рівняння (з правою частиною, яка дорівнює нулю). Як відомо, це рішення є сумою експонент:

,

де – кількість експонент, що дорівнює порядку характеристичного рівняння;

– постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов;

– корені характеристичного рівняння.

Операторний метод заснований на використанні перетворення Лапласа і теорії операційного числення, яка витікає з нього, як методу розв’язання лінійних диференційних рівнянь.

Диференційні рівняння відносно оригіналу (функції часу) замінюються алгебраїчними рівняннями відносно операторних зображень цих функцій часу. Систему рівнянь відносно зображень можна отримати за операторною схемою, що враховує початкові умови.

Після розв’язання системи алгебраїчних рівнянь знаходяться зображення шуканих функцій, а потім операцією зворотного перетворення Лапласа – оригінали, тобто шукані перехідні функції.

Послідовність розрахунку цими методами викладена у наведених нижче прикладах. Основні властивості перетворення Лапласа і таблиця формул відповідності оригіналів і зображень за Лапласом дані у додатку Г.

3.2 Розрахунок перехідного процесу в колі з одним накопичувачем енергії а Класичний метод

Послідовність розрахунку класичним методом зводиться до наступного.

1 Складають математичну модель кола щодо розрахунку.

2 Проводять передкомутаційний розрахунок кола і визначають початкові значення, а також розраховують післякомутаційну схему у сталому режимі – визначають вимушену складову перехідної функції; початкові післякомутаційні значення знаходять за допомогою законів Кірхгофа і законів комутації.

3 Будь-яким способом отримують характеристичне рівняння і визначають його корені.

Залежності від кількості і вигляду коренів характеристичного рівняння записують рішення для вільної складової:

а) – для одного кореня;

б) – при двох суттєво різних коренях;

в) – при двох різних (кратних) коренях;

г) – при двох комплексно зв’язаних коренях;

де та – дійсна та уявна частини комплексного кореня ;

– постійні інтегрування.

4 Перехідну функцію беруть як суму примушеної і вільної складової:

; ,

і визначають постійні інтегрування шляхом розв’язання системи алгебраїчних рівнянь, складених для моменту з використанням вільної складової і її похідних.

Наприклад, для варіанта кореня б:

Значення і – перше і друге початкові значення, знаходяться незалежним шляхом з аналізу схеми кола для моменту . При цьому з метою прямого використання законів комутації в цій операції доцільно вирішувати задачі з розрахунку перехідних процесів шляхом знаходження струмів в індуктивностях і напружень на конденсаторах. Використовуючи ці перехідні функції, знаходять інші, наприклад, струм в конденсаторі:

або і т.п.

5 Будують графіки отриманих перехідних функцій, визначають тривалість перехідного процесу:

– при дійсному корені і

– при комплексно-зв'язаному корені.

Відношення або позначається та має назву «стала часу». Тобто практично тривалість перехідного процесу дорівнює .

Роблять висновки про характер перехідного процесу, визначають максимальні значення струмів і напруг (ударні значення), максимальні відхилення від сталого значення і т.п.

При цьому методі розрахунку треба пам'ятати про його головні недоліки. Перший виходить з умови, що , тобто треба завжди визначати примушену складову, яку ми можемо знайти тільки при постійному або синусоїдальному струмі в колі.

В інших випадках класичний метод використати важко або неможливо. Крім того, при великій кількості накопичувачів енергії (реактивних елементів) порядок характеристичного рівняння буде високим і, як наслідок, буде багато постійних інтегрування. У цьому випадку розв’язок супроводжується великими труднощами, які значно ускладнюються зі зростанням порядку характеристичного рівняння

Приклад розрахунку перехідного процесу в колі з одним накопичувачем енергії

Задача 5

А Класичний метод

Визначити струми під час перехідного процесу у гілках електричного кола (рис. 3.1). Постійна напруга живлення кола – .

Дано:

Розв’язання

1) Передкомутаційний розрахунок:

2) Знайдемо вимушені складові струмів та напруг:

3) Визначимо повні значення напруг та струмів у момент часу .

4) Знайдемо вільні складові напруг та струмів:

5) Складемо характеристичне рівняння шляхом запису опору в символічній формі з подальшою заміною в ньому на р і дорівняння цього опору нулю. Запишемо опір відносно затискачів джерела:

Характеристичне рівняння:

Підставляючи відповідні параметри отримаємо:

;

,

де р – коефіцієнт загасання перехідного процесу.

Знайдемо сталу часу: .

6) Запишемо аналітичні вирази для напруг та струмів.

.

7) Знайдемо постійні інтегрування та вільні складові напруг та струмів:

8) Запишемо значення повних напруг та струмів під час перехідного процесу:

Зробимо перевірку за першим законом Кірхгофа: .

тобто струми знайдені вірно.